Varios autores - Manual de preparación PSU Matemática

Los números reales y los números imaginarios son subconjuntos de los números complejos, ya que:

• Números reales: números complejos de la forma z = a + 0i, es decir, Im(z) = 0.

• Números imaginarios: números complejos de la forma z = 0 + bi, es decir, Re(z) = 0.

Igualdad entre números complejos

Dos números complejos z 1y z 2son iguales si sus partes real e imaginaria son respectivamente iguales. Es decir:

z 1= z 2⇔ Re(z 1) = Re(z 2) e Im(z 1) = Im(z 2)

Entre los conjuntos numéricos estudiados, se tiene lo siguiente: .

Representado en un diagrama, se tiene:

Actividades resueltas

1. Determina la parte real e imaginaria de cada número complejo.

2. Si z 1= (12x – 6) + 8i, z 2= 18 + (5 – y)i, ¿cuáles son los valores de x e y para que z 1= z 2?

Se debe cumplir Re(z 1) = Re(z 2) e Im(z 1) = Im(z 2), es decir:

• 12x – 6 = 18 ⇒ x = 2

• 8 = 5 – y ⇒ y = –3

Remplazando estos valores se tiene: z 1= z 2= 18 + 8i.

Actividades

1. Escribe o , según corresponda.

2. Determina la parte real y la parte imaginaria de cada número.

3. Escribe cada número en la forma z = a + bi según las condiciones dadas.

4. Escribe un número complejo que cumpla con la condición solicitada.

a)La parte real sea el doble de la parte imaginaria.

b)La parte imaginaria sea negativa y la parte real sea un número mayor que –5 y menor que cero.

c)Su parte real sea cero y su parte imaginaria sea un número par primo.

d)Su parte imaginaria sea cero y su parte real 7.

e)La parte real sea menor que 3 y mayor que 1 y la parte imaginaria sea un número negativo.

f)La parte real sea un múltiplo de 5 y la parte imaginaria sea divisor de 8.

5. Resuelve.

a)Si z = x + (16 + y)i, w = – 7yi, ¿cuáles son los valores de xe ypara que z = w?

b)Si z 1= (5a + 12) + 7i, z 2= 17 – bi, ¿cuáles son los valores de ay bpara que z 1= z 2?

c)Si z = (x + 2y) + (5 + 7y)i, w = – (5 – 12y)i, ¿cuáles son los valores de xe ypara que z = w?

d)Si z 1= z 2y z 1= 3 – (5 + y)i, z 2= (4 – 2x) + (7 – 5y)i, ¿cuáles son los valores de xe y?

e)Si z = 3x + (5y – 4)i, w = 15 – 8yi, para que z = w, ¿cuánto es x + y?

6. Determina los valores de p y q para que se cumpla cada igualdad.

4.3 Representación gráfica de números complejos

En el plano cartesiano se utilizan los ejes X e Y, que representan los números reales. Es posible construir el plano complejo, que se conoce como plano de Argand, identificando el eje Y con las partes imaginarias (Im(z)) y el eje X con las partes reales (Re(z)). De esta manera, es posible representar un número complejo cualquiera como un punto en este plano identificando su parte real en el eje X, y su parte imaginaria en el eje Y.

Un número complejo zse puede representar en:

• Forma binomial: z = a + bi

• Forma cartesiana: z = (a, b)

Conjugado de un número complejo

Se define el conjugado de un número complejo z = a + bi, como:

De lo anterior se deduce lo siguiente.

• El conjugado de un número cuya parte imaginaria es cero, es el mismo número.

Si z = a ⇒ = a.

• El conjugado del conjugado de un número complejo es el mismo número complejo.

• Un número complejo zy su conjugado se ubican en forma simétrica respecto al eje real del plano de Argand.

Módulo de un número complejo