Varios autores - Manual de preparación PSU Matemática

Al representar gráficamentela adición entre dos números complejos, esta se puede relacionar con un paralelógramo. Donde cada sumando corresponderá a un lado y la suma a la diagonal.

Si z 1, z 2y z 3 , se tiene:

• z 1+ z 2= z 3

Actividad resuelta

Si (7 + 4i) + z = 2 + 7i, ¿cuál es el número complejo z?

Si z = a + bi, se tiene (7 + 4i) + (a + bi) = 2 + 7i ⇒ (7 + a) + (4 + b)i = 2 + 7i

Igualando las partes reales e imaginarias se obtiene lo siguiente:

• Parte real: 7 + a = 2 ⇒ a = –5

• Parte imaginaria: 4 + b = 7 ⇒ b = 3

Por lo tanto, z = –5 + 3i.

Actividades

1. Si z 1= 5 + 2i, z 2= –7 – 8i, z 3= –i, z 4= 5 – 2i, calcula:

2. Representa en un solo plano de Argand cada adición entre números complejos.

a)z 1= 3 – 2i, z 2= 1 + 2i; A = z 1+ z 2

b)z 3= 7 + i, z 4= –3 + 2i; B = z 3+ z 4

c)z 5= 1 – i, z 6= 4 – 5i; C = z 5+ z 6

d)z 1= 2 – 2i, z 2= 4 + i; D = z 1+ z 2

e)z 3= –3 + i, z 4= 1 + i; E = z 3+ z 4

f)z 5= 1 – 2i, z 6= 3i; F = z 5+ z 6

g)z 1= –2i, z 2= –5 + i; G = z 1+ z 2

h)z 3= – i, z 4= 2i; H = z 3+ z 4

i)z 5= 6 – i, z 6= 3 + 3i; I = z 5+ z 6

j)z 1= 7 – 2i, z 4= 5 – 5i; J = z 1+ z 4

3. Verifica si cada afirmación es verdadera o falsa.

a)El inverso aditivo de z = 1 + i es w = –1 + i.

b)Siempre la suma de números complejos es un número real.

4. Observa el plano de Argand y luego resuelve o responde según corresponda.

5. Resuelve.

a)Si (9 – 3i) + z = 15 + i, ¿cuál debe ser el número complejo z?

b)Si w + (–6 – 2i) = 17 + 3i, ¿cuál debe ser el conjugado de w?

c)Si z = –6 + bi, w = c + 7i y además z + w = –9 – 15i, ¿cuáles son los valores de by c?

4.5 Sustracción en

Para resolver una sustracción entre dos o más números complejosse restan, respectivamente, las partes reales y las partes imaginarias.

Si z, w , z = a + bi, w = c + di⇒ z – w = (a – c) + (b – d)i

Al relacionar la sustracción con el conjugado de un número complejo, se tiene lo siguiente:

• Si z = a + bi, se tiene que z – = 2bi.

z – = (a + bi) – (a – bi) = (a – a) + (b – –b)i = (b + b)i = 2bi

• Considerando z , se cumplen las siguientes igualdades:

• Si z = a + bi y w = c + di, se tiene

Actividades resueltas

1. Si z = 5 – 7i, w = – 7 + 6i, ¿cuánto es z – w?

z – w = (5 – –7) + (–7 – 6)i = 12 – 13i

2. Si (– 4 + 2i) – z = –3 + 2i, ¿cuál debe ser el número complejo z?

Si z = a + bi, se tiene:

(–4 + 2i) – (a + bi) = –3 + 2i ⇒ (–4 – a) + (2 – b)i = –3 + 2i

Igualando sus partes real e imaginaria se obtiene:

• Parte real: –4 – a = –3 ⇒ a = –1

• Parte imaginaria: 2 – b = 2 ⇒ b = 0

Por lo tanto, z = –1.

Nota histórica

Si bien los números imaginarios eran conocidos desde el siglo XVI, no fue hasta principios del siglo XIX que se les dio validez a partir de su interpretación geométrica (plano de Argand). Esta interpretación fue dada casi simultáneamente por el matemático Carl F. Gauss (1777-1855) y dos aficionados a la matemática: un noruego de apellido Wessel (1745-1818) y un tenedor de libros parisino llamado Argand (1768-1822).

3.Si z 1= 3 + 2i, z 2= 2 – i, z 3= 5 + i, resuelve y representa las siguientes sustracciones: z 3– z 2y z 3– z 1.

z 3– z 2= (5 + i) – (2 – i)

= 3 + 2i

= z 1

z 3– z 1= (5 + i) – (3 + 2i)

= 2 – i

= z 2

Actividades

1. Si z 1= 6 – 4i, z 2= –4i, z 3= –3 + 2i, z 4= 6 + 4i, calcula.

2. Si z 1= 3 – 4i, z 2= –5 – 2i, z 3= –2 – 6i, z 4= –3 + 4i, calcula y luego representa en un plano de Argand lo siguiente.

3. Verifica si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.

a)La sustracción entre un número complejo y su conjugado da como resultado un número real.

b)La diferencia entre números complejos cumple la propiedad asociativa.

c)El resultado de (1 – i) – (1 + i) – (–1 – i) es igual a 1.

4. Observa el plano de Argand y luego resuelve.

5. Resuelve.