Varios autores - Manual de preparación PSU Matemática

log ba = x ⇔ b x= a

Para relacionar la potencia, el logaritmo y la raíz enésima, con n y a, b , b ≠ 1, se tiene lo siguiente:

b n= a ⇔ n = log ba ⇔ b =

Cuando la base del logaritmo es 10 log 10a = log a.

El logaritmo de base ese conoce como logaritmo natural. Así, log ea = ln a.

Actividades resueltas

1. Calcula el valor de log 5125.

Por definición se tiene que: log 5125 = x ⇔ 5 x= 125. Como 5 3= 125, se tiene que x = 3.

2. Si log x8 = 3, ¿cuál es el valor de x?

Se sabe que log x8 = 3 ⇔ x = , luego x = 2.

3. ¿Cuál es el valor de log 10.000?

Considerando x = log 10.000 ⇔ 10 x= 10.000, se obtiene que x = 4, luego log 10.000 = 4.

4. Si ln x = 0 y log y = 5, ¿cuál es el valor de x + y?

De ln x = 0 se obtiene que e 0= x, luego 1 = x; además, de log y = 5 ⇔ 10 5= y, se obtiene que y = 100.000. Por lo tanto, x + y = 100.001.

Actividades

1. Calcula.

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

3.10 Propiedades de los logaritmos

El logaritmo cumple las siguientes propiedades:

• Logaritmo de la unidad. Si b – {1}, entonces:

log b1 = 0

• Logaritmo de un producto. Si a – {1}, b, c , entonces:

log a(b • c) = log ab + log ac

• Logaritmo de una potencia. Si a – {1}, b entonces:

log ab n= n • log ab

• Logaritmo de la base. Si b – {1}, entonces:

log bb = 1

• Logaritmo de un cociente. Si a – {1}, b, c , entonces:

• Cambio de base de un logaritmo. Si a, b, c – {1}, entonces:

Actividades resueltas

1. Calcula el valor de la expresión .

2. Utilizando las propiedades estudiadas, calcula .

Actividades

1. Calcula el valor de cada expresión.

2. Considerando log 35 = 1,465, log 37 = 1,771, log 65 = 0,898 y log 62 = 0,387, calcula los siguientes logaritmos.

3. Reduce cada expresión. Para ello, aplica las propiedades del logaritmo.

4. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justifica en cada caso.

5. Resuelve.

a)Si M • N 3• P = 625, ¿cuál es el valor de la expresión ?

b)Si A = (log 280 – log 25) + (log 3135 – log 35), ¿cuánto es A 2?

c)Calcula el valor de la expresión A = log 6(log 3(log 2(log 2256))).

d)¿Cuál es el valor de la expresión

e)Si F = 4 log 16(log 8 ), ¿cuál es el valor de 3F?

f)Se define B = log 3064 + log 3015 3– 3 log 302. ¿Cuál es el valor de log 3B 2?