Varios autores - Manual de preparación PSU Matemática

Ahora, aproximando por exceso, se considera que .

Luego, se tiene que:

Se puede aplicar este proceso reiteradamente para obtener una mejor aproximación.

Aproximación por acotación sucesiva

Se acota el número irracional x,tanto inferior como superiormente, es decir, se determinan dos números racionales ay btal que a < x < b, luego se calcula el promedio entre estos números y se prosigue tantas veces como sea necesario.

Actividad resuelta

Determina una aproximación .

El proceso continúa tantas veces como se quira, según la aproximación conseguida.

Orden en

es un conjunto ordenado. Asi, para comparar numeros reales, y en particular numeros irracionales, se pueden representar como numeros decimales, para luego compararlos. Una manera alternativa si se consideran raices cuadradas, consiste en com-parar sus cuadrados, ya que para numeros mayores que 1, mientras mayor sea un numero, mayor es su expresion al cuadrado.

Actividad resuelta

Ordena de menor a mayor .

Al elevarlas al cuadrado resulta: = 50, luego se tiene lo siguiente: .

Actividades

1. Aproxima por truncamiento y redondeo cada número.

a)3,14151617… a la centésima.

b)15,3698765… a la décima.

2. Aproxima las siguientes raíces utilizando cada método según corresponda.

3. Ordena de menor a mayor según corresponda.

3.8 Números irracionales en la recta numérica

Para ubicar números irracionales en la recta numéricaes necesario aproximarlos, ya que tienen infinitas cifras decimales. Por ejemplo, para πse puede considerar 3,1415 y se marca dicha aproximación con un punto en la recta. Sin embargo, para situar en la recta numérica la raíz cuadradade un número natural, es posible utilizar algún procedimiento geométrico.

Actividad resuelta

Ubica el número en la recta numérica.

Sobre el número 1 se traza un segmento AB perpendicular que mida 1 unidad, luego se forma un triángulo uniendo el número 0 con B. Al aplicar el teorema de Pitágoras se tiene que la hipotenusa mide , luego con centro en 0 y radio igual a la hipotenusa se traza un arco de circunferencia que corta a la recta numérica en .

Prosiguiendo de esta forma se pueden ubicar en la recta numérica , etc.

Esta construcción geométrica que representa las raíces cuadradas de los números naturales se conoce como la espiral de Teodoro.

Actividades

1. Determina qué número se ha representado con una letra en la recta numérica.

2. En cada recta numérica determina qué números representan las letras A, B y C.

3.9 Logaritmos

El logaritmode aen base b (log ba)es el exponente de una potencia de base bcuyo valor es a, es decir, si a , b – {1} y x , se define lo siguiente: