Varios autores - Manual de preparación PSU Matemática

4. Números complejos ( )

4.1 Números imaginarios II

Las ecuaciones de la forma x 2+ a = 0, a , no tienen solución en el conjunto numérico de los números reales porque el cuadrado de un número real es un número no negativo y al ser sumado con un número positivo su resultado no es cero. En particular en la ecuación x 2+ 1 = 0, si tuviese solución en el conjunto de los números reales, debiese existir un número real con la condición de que x 2= –1. Para resolver el problema se define el número i(unidad imaginaria) como el número cuyo cuadrado es –1, es decir, i 2= –1. Por lo tanto la ecuación x 2+ 1 = 0 tiene como soluciones x 1= i, x 2= –i.

Las ecuaciones de la forma x 2+ a = 0, con a , tienen dos raíces o soluciones imaginarias que son:

Potencias de i

En el desarrollo de potencias de ise tiene:

En general, se tiene ∀ p :

Actividades resueltas

1. Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución en .

a)x 2+ 10 = 0

Al despejar se obtiene x 2= –10. Luego, no existe un número real que al elevarlo al cuadrado resulte –10. Por lo tanto, no tiene solución en .

b)4x 2– 16 = 0

Al despejar se obtiene x 2= 4. Luego se tiene que existen dos números reales que cumplen la igualdad: 2 y –2. Por lo tanto, tiene solución en .

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

3. Calcula el valor de cada potencia.

4. Calcula el resultado de cada expresión.

Actividades

1. Determina cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en .

a)x 2+ 6 = 0

b)x 2– 5 = 0

c)5x 2– 25 = 0

d)0 = 4x 2+ 32

e)0 = 12(x 2+ 3)

f)15 = 7x 2– 15

g)8(x 2+ 12) = 16(x 2– 7)

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a)x 2+ 5 = 0

b)0 = 150 + x 2

c)x 2+ 12 = 0

d)–x 2= 200

e)x 2+ 16 = 0

f)–5x 2= 500

g)0 = 25 + x 2

h)–8x 2= 288

i)0 = 100 + x 2

j)–9x 2= 81

3. Calcula el valor de cada potencia de i, luego resuelve.

4. Determina el resultado de cada expresión.

5. Verifica si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica en cada caso.

a)Toda expresión de la forma , a , representa un número imaginario.

b)Al calcular i se obtiene como resultado –9.

c)Al calcular i 456su resultado es un número real.

d)El resultado de i –7 es un número imaginario.

6. Calcula cada suma.

a)i 3+ i 6+ i 9+ ... + i 96+ i 99

b)i 2+ i 4+ i 6+ ... + i 98+ i 100

4.2 Números complejos ( )

El conjunto de los números complejos( ) está formado por los números de la forma z = a + bicon a, b .

= {z = a + bi / a, b }

En todo número complejo z = a + bise distinguen dos partes: la parte realde zsimbolizada por Re(z) = a, y la parte imaginariade zsimbolizada por Im(z) = b.