Varios autores - Manual de preparación PSU Matemática

En el plano de Argand, el número complejo z = a + bio z = (a, b), se representa utilizando un vector desde el origen del plano hasta el punto z. La longitud del vector corresponde al módulo del número complejo, que se anota por |z| y se calcula por:

Actividades resueltas

1. En el plano de Argand se han representado los números complejos z 1, z 2, z 3y z 4. ¿Cuál es su representación en forma binomial y cartesiana?

2. Si z 1= 3 – 5i, z 2= –5 + 8i y z 3= –1,5 – 7i, ¿cuáles son los conjugados?

3. Representa en el plano el número complejo z = –3 + 2i, su conjugado y luego calcula su módulo.

El conjugado del número complejo es , y su módulo es:

Además se observa que .

Actividades

1. Representa en el plano de Argand los siguientes números complejos.

a)z 1= 2

b)z 2= 3i

c)z 3= 4 – 4i

d)z 4= –3 – i

e)z 5= –4 + 5i

f)z 6= 3 + i

g)z 7= 5 – 2i

h)z 8= 7 – 5i

i)z 9= 6 – 4i

j)z 10= –5 – 2i

2. Observa el plano de Argand, luego responde.

a)Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real e imaginaria mayor que cero.

b)Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real menor que cero e imaginaria menor que cero.

c)Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real mayor que cero e imaginaria menor que cero.

d)Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real menor que cero e imaginaria mayor que cero.

3. Calcula el módulo de cada número complejo y su conjugado, luego represéntalo en el plano de Argand.

a)z 1= –2 – i

b)z 2= –4 + 2i

c)z 3= 1 + 4i

d)z 4= 2 – 2i

e)z 5= 4 + 2i

f)z 6= –i

g)z 7= –2 – 5i

h)z 8= 8 + 2i

i)z 9= 3 – 8i

j)z 10= –5 – 4i

4. Determina el módulo y el conjugado de cada número complejo según corresponda.

4.4 Adición en

Para resolver una adición entre dos o más números complejosse suman, respectivamente, las partes reales y las partes imaginarias.

Actividades resueltas

1.Si z 1= –3 + 2i, z 2= 5 – 6i, luego z 1+ z 2= (–3 + 5) + (2 – 6)i = 2 – 4i.

2.Si z 1= –8 – 4i, z 2= –12 – 8i, luego z 1+ z 2= (–8 – 12) + (–4 – 8)i = –20 – 12i.

Propiedades de la adición de números complejos

En el conjunto se cumplen las siguientes propiedades para la adición:

Clausura: si z, w , entonces, z + w .

Conmutativa: si z, w , entonces z + w = w + z.

Neutro aditivo: existe un número complejo 0 tal que z + 0 = z.

Inverso aditivo: existe –z tal que z + (–z) = 0.

Asociativa: los sumandos se pueden agrupar de diferentes formas sin alterar el resultado, es decir, (z + w) + u = z + (w + u).

Al relacionar la adición con el conjugado de un númerocomplejo se cumple que:

Si z = a + bi, se tiene que z + = 2a, ya que z + = (a + a) + (b + (–b))i = 2a

Si z = a + bi y w = c + di, se tiene que , ya que:

Interpretación geométrica de la adición de números complejos