Jörg Witte - Genese des Zahl- und Zeitbegriffs aus der Erinnerung

Ein Ingenieur berechnet auf Grundlage der Naturgesetze Bewegungen einer Maschine voraus, wenn er sie konstruiert. Nicht nur sichtbare Bewegungen wie die einer Antriebsmaschine sind Bewegungen einer Maschine, sondern auch unsichtbare, wie sie beispielsweise bei der Übertragung eines Funksignals auftreten, oder wie die Bewegungen der Elektronen im Prozessor oder Speicher eines Computers. Letztere können auch indirekt durch das Programm eines Programmierers gesteuert werden. Auf der Basis wissenschaftlicher Theorien können Wahrscheinlichkeiten berechnet werden, mit denen ein zukünftiges Ereignis eintreten wird. Zu den Prognosen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit gehören z. B. Wettervorhersagen. Sozialwissenschaftler prognostizieren ebenfalls mit den Methoden der Statistik Voraussagen über gesellschaftliche Entwicklungen, die mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten eintreten werden. Die beeindruckenden Erfolge der Neurowissenschaften, und mit ihnen die darin angewendete Mathematik, beeinflussen erheblich unser Selbstverständnis, insbesondere unsere Vorstellungen über Bewusstsein, Selbstbewusstsein, Wahrnehmen, Denken, Willensfreiheit und Verantwortlichkeit.

Warum ist die Mathematik eine Grundlage einer wissenschaftlichen, zumindest einer naturwissenschaftlichen Erkenntnis und der Technik? Woher kommt ihre enorme Bedeutung für unsere wirtschaftlichen und technischen Lebensumstände, unser naturwissenschaftliches Weltbild und unser Selbstverständnis? Wie hat sich ihre Bedeutung historisch entwickelt? Was offenbart die historische Entwicklung über die Menschen, die Mathematik betreiben oder anwenden? Was verrät sie über uns selbst und über die Gesellschaft, in der wir leben? Auf den folgenden Seiten versuche ich, auf diese Fragen eine Antwort zu finden.

Diese Fragen verweisen auf eine kulturelle Diskrepanz, denn die Haltung sehr vieler Zeitgenossen zur Mathematik steht in einem deutlichen Kontrast zu deren zentraler Position in unserem naturwissenschaftlichen Weltbild. Die Mathematik erscheint vielen lebensfern. Einige prahlen geradezu damit, nie etwas von der Mathematik verstanden zu haben. Die Beschäftigung damit sei sinnlos. Zur Bestätigung stellen sie gerne zur Schau, dass ein Mangel mathematischer Kompetenzen zu keinerlei Einschränkung ihrer Lebensqualität geführt habe. Sogar Studierende einer Natur- oder Ingenieurwissenschaft verstehen häufig nicht, warum die Mathematik eine Grundlage ihres Studiums ist, mit dramatischen Folgen bis zum Studienabbruch.

Die Diskrepanz zwischen der Bedeutung der Mathematik und der ihr entgegengebrachten ablehnenden Haltung spiegelt eine Ungewissheit der Wissenschaftler wider. Auch sie können im Allgemeinen nicht begründen, warum die Mathematik in der modernen Welt eine derart zentrale Rolle spielt.

Auch Einstein fragte sich: »Wie ist es möglich, dass die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung unabhängiges Produkt menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich passt?« (Einstein, 1921) Anders Galileo Galilei (1564-1641), der konstatierte, das Buch der Natur sei in der Sprache der Mathematik geschrieben (Galilei, 1623).

Während sich Einstein also darüber wunderte, dass die Mathematik auf die Gegenstände der Naturwissenschaft so vortrefflich passt, scheint dies für Galilei nicht rätselhaft zu sein. Folgerichtig fallen für ihn Gegenstände oder Ereignisse der Natur unter gewisse mathematische Begriffe. Galilei lebte über 300 Jahre vor Einstein, zu einer Zeit, als es noch keine moderne Mathematik gab. In der Renaissance verfügte man über die antike griechische Geometrie, wie sie von Euklid (ca. 285–212 v. Chr.) überliefert worden war. Sie fand Anwendung in den verschiedenen Bereichen des gesellschaftlichen, wirtschaftlichen und kulturellen Lebens, wie Navigation, Kartographie, Astronomie oder auch in der Malerei. Galilei verwendete die Euklidische Geometrie für die Kinematik, die Lehre der Bewegungen, und begründete so die moderne Physik. Die beiden Zitate legen die Vermutung nahe, dass sich die Begriffsbildung der modernen Mathematik erheblich von der der Euklidischen Geometrie unterscheidet. Dazu passt, dass man in Überlieferungen aus der Renaissance vergeblich nach einer ablehnenden Haltung der Mathematik gegenüber sucht. Künstler studierten mathematische Abhandlungen und wandten die Strahlensätze auf ihre Perspektivkonstruktionen an. Durch sie wird auch der eigene Standpunkt dargestellt. Auch Kartographen und Seefahrer nutzten die Strahlensätze, ebenfalls in der Absicht, den eigenen Standpunkt zu bestimmen. Das Wissen um den eigenen Standpunkt ist ein Ausdruck des Selbstbewusstseins der Renaissance. Den eigenen Standpunkt habe ich selbst eingenommen – im Gegensatz zu den physischen Gegenständen, die ich dort vorfinde. Im Kontrast zu den Gegenständen kann ich mich auch dazu entschließen, meinen Standpunkt wieder zu verlassen. Die Menschen der Renaissance stellten sich mit der Euklidischen Geometrie zu der Welt in Beziehung. Die Mathematik wurde keinesfalls als weltabgewandt empfunden – ganz im Gegenteil! Mittels der Mathematik wandte man sich selbstbewusst der Welt zu.

Welche Entwicklung nun nahm die Mathematik in der Neuzeit, bis sie einerseits erheblich zu wissenschaftlichem Erkenntnisgewinn und technischem Fortschritt beitrug, doch andererseits den Zeitgenossen immer fremder wurde und lebens- und wirklichkeitsfremd erschien? Die Begriffe der modernen Mathematik sind deutlich abstrakter, weniger anschaulich, als sie es in der griechischen Antike waren. Der moderne Mathematiker definiert mit seinen Begriffen Strukturen. Er versteht unter einer Struktur eine Menge von Objekten, die in gewissen Beziehungen zueinander stehen – eine Struktur bilden. Z. B. ist die Menge der natürlichen Zahlen eine Menge von Objekten, die nicht näher bestimmt werden. Näher bestimmt werden nicht die Objekte, sondern die Beziehungen zwischen den Objekten. Es wird beispielsweise gefordert, dass jedes Objekt der Menge der natürlichen Zahlen einen Nachfolger in der Menge hat, und dass es in der Menge der natürlichen Zahlen genau ein Objekt gibt, das kein Nachfolger ist. Dieses nennen wir ›Eins‹. Durch diese Nachfolgerbeziehung werden die Beziehungen zwischen den natürlichen Zahlen charakterisiert. Jede natürliche Zahl kann durch Nachfolgerbeziehungen eindeutig bestimmt werden. So bestimmen wir etwa beim Zählen Schritt für Schritt den Nachfolger der zuletzt gezählten Zahl. Dadurch ist jede gezählte Zahl bereits eindeutig bestimmt. Zusätzliche Merkmale jeder einzelnen natürlichen Zahl braucht es nicht. Die mathematischen Begriffe bestimmen die Beziehungen zwischen den Objekten einer Struktur, von weiteren Eigenschaften der Objekte wird abgesehen, sie bleiben unbestimmt. Sie sind dann inhaltsleer, und wir können uns unter ihnen nichts vorstellen. Daher rührt die Abstraktheit mathematischer Begriffe. Ein Bezug zur eigenen Erfahrung kann nicht mehr oder nur noch schwer erkannt werden, die Objekte erscheinen als ein von der Erfahrung unabhängiges Produkt menschlichen Denkens. Nach Dedekind (1831–1916) sind Zahlen eine freie Schöpfung des menschlichen Geistes.

Die moderne Mathematik wird als eine Wissenschaft der abstrakten Strukturen charakterisiert. Eine abstrakte Struktur wird definiert – sie ist nicht empirisch vorgegeben, sondern eine Schöpfung des menschlichen Geistes. Die Merkmale einer Struktur, wie z. B. Rechenregeln, werden auf möglichst wenige Aussagen, die Axiome, logisch zurückgeführt. Ein beliebiges Merkmal einer Struktur soll dann logisch aus den frei gesetzten Axiomen hergeleitet werden können. Eine abstrakte Struktur erscheint jedoch ausgedacht – ähnlich den Regeln des Schachspiels. Wir werden der Mathematik aber nicht gerecht, wenn wir sie als ein bestenfalls amüsantes, aber letztlich nutzloses Spiel abtun. Schließlich ist sie eine Grundlage der Naturwissenschaft und des technischen Fortschrittes.

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