J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Für eine partiell differenzierbare reellwertige Funktion von Variablen heißen die partiellen Ableitungen Partielle Ableitungen 1. Ordnung von .

Partielle Ableitungen 2. Ordnung erhalten Sie aus den partiellen Ableitungen 1. Ordnung, indem Sie diese partiell differenzieren.

Für eine partiell differenzierbare reellwertige Funktion von Variablen mit ihrerseits partiell differenzierbaren partiellen Ableitungen 1. Ordnung sind für die partiellen Ableitungen 2. Ordnung von durch

definiert. Für den Fall schreibt man auch

Falls die entsprechenden partiellen Ableitungen existieren, erhalten Sie auf diese Art beliebige partielle Ableitungen höherer Ordnung. Zum Beispiel die partiellen Ableitungen 3. Ordnung:

für .

Ein Beispiel:

Zur reellwertigen Funktion der beiden Variablen und erhalten Sie nach dem letzten Abschnitt für die ersten partiellen Ableitungen

Die beiden partiellen Ableitungen und sind ebenfalls partiell differenzierbare reellwertige Funktionen der beiden Variablen und . Die zweiten partiellen Ableitungen erhalten Sie als die partiellen Ableitungen von und :

und

Für die dritten partiellen Ableitungen müssen Sie diese zweiten partiellen Ableitungen jeweils wieder nach den einzelnen Variablen partiell differenzieren. Sie erhalten zum Beispiel

und

und so weiter.

Bei diesem Beispiel sieht es so aus, als wäre es gleichgültig, in welcher Reihenfolge die partiellen Ableitungen nach den verschiedenen Variablen gebildet werden. Im Fall der partiellen Ableitungen 2. Ordnung gilt also

für alle und . Dass dies nicht immer richtig ist, zeigt der nächste Abschnitt.

Berechnen Sie die zweiten partiellen Ableitungen der Funktion

Kritisch ist dabei die Stelle . Aus folgt direkt, dass die ersten partiellen Ableitungen an dieser Stelle verschwinden.