J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Diese geometrische Interpretation der Ableitung funktioniert analog zum eindimensionalen Fall auch in mehrdimensionalen Situationen. Abhängig von den beteiligten Dimensionen ist dies allerdings nicht immer durch eine Graphik anschaulich darzustellen. Für eine Funktion funktioniert das aber noch. Hier entspricht die Tangentialebene an den Graphen von an der Stelle

der Tangente im Eindimensionalen. Vorsicht: Die Jacobi-Matrix ist in diesem Fall ein Zeilenvektor. Abbildung 2.5zeigt eine solche Tangentialebene für eine reellwertige Abbildung von zwei Variablen.

Prinzipiell können Sie das natürlich genauso für reellwertige Abbildungen von Variablen machen, nur die graphische Darstellung funktioniert dabei nicht mehr. Sie erhalten damit einen Spezialfall der am Anfang dieses Abschnitts genannten Eigenschaften differenzierbarer Funktionen.

Abbildung 2.5: Die Tangentialebene zum Graphen von an der Stelle

Eine reellwertige Funktion von Variablen ist in total differenzierbar, wenn es reelle Zahlen , Funktionen und eine Umgebung von gibt, sodass für alle

und

gilt.

Für differenzierbare reellwertige Funktionen von Variablen gilt näherungsweise:

Wenn Sie , und als Spaltenvektoren interpretieren, erhalten Sie die relativ einprägsame Regel:

Mit für und

wird die obige Gleichung

oft auch etwas anders geschrieben:

heißt der lineare Anteil des Zuwachses von oder das totale Differential von in .

Die totale Ableitung einer reellwertigen Funktion von Variablen spielt die Rolle der üblichen Ableitung einer eindimensionalen Funktion. In der geometrischen Interpretation entspricht die totale Ableitung der Verallgemeinerung der gewöhnlichen eindimensionalen Ableitung auf mehrdimensionale Situationen. Eine weitere gemeinsame Eigenschaft finden Sie im Zusammenhang zwischen totaler Differenzierbarkeit und Stetigkeit.