J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Anschaulich betrachtet man dabei das Grenzverhältnis in der Änderung des Funktionswerts im Vergleich zur Änderung des Arguments .

Prinzipiell wird die (totale) Ableitung auch für Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen so definiert, allerdings müssen Sie dabei beachten, dass die Änderung im Argument im allgemeinen Fall vektorwertig ist, da die Variablen und aus mehrdimensionalen Räumen stammen. Die Division durch einen Vektor ist nicht definiert, daher können Sie das Verhältnis nicht genau so als Differenzenquotienten schreiben. Mit einem kleinen technischen Trick können Sie das aber doch analog zur Situation für »eindimensionale« Funktionen definieren. Dazu stellen Sie zuerst die obige Definitionsgleichung um:

Für einen inneren Punkt einer offenen Teilmenge des -dimensionalen Raumes heißt eine Funktion in total differenzierbar , wenn es eine reelle –Matrix mit der Eigenschaft

gibt. Oft sagt man statt »total differenzierbar« kurz »differenzierbar«.

Die Matrix heißt 1. Ableitung oder Jacobi-Matrix der Funktion an der Stelle . Man bezeichnet die Matrix auch mit .

Zunächst scheint diese Definition der totalen Ableitung einer Funktion sehr formal und technisch zu sein, sie hat aber eine sehr anschauliche geometrische Bedeutung: Der Grenzwert aus der Definition der totalen Ableitung besagt nichts anderes, als dass sich die Funktionswerte immer besser durch die Werte der affin linearen Abbildung darstellen lassen, je näher an die Stelle herankommt. Was das genau bedeutet und welche anderen Eigenschaften die totale Ableitung einer Funktion besitzt, wird im folgenden Abschnitt erläutert.

Die meisten grundlegenden Begriffe der Analysis werden über geeignete Grenzwerte definiert. Beispiele dafür sind Stetigkeit, Ableitung und Integral einer Funktion. Solche Definitionen sind zwar aus formaler mathematischer Sicht präzise und klar, aber oft für die praktische Anwendung ziemlich unhandlich. Damit Sie Ableitungen oder Integrale tatsächlich berechnen können, braucht es zusätzliche Rechenregeln und Eigenschaften.

Im Falle der totalen Ableitung können Sie direkt aus der Grenzwertdefinition einige grundlegende Eigenschaften erkennen, die etwas mehr Licht auf die Sache werfen.

Für eine Funktion und einen inneren Punkt sind die folgende Aussagen äquivalent:

Die Funktion ist (total) differenzierbar in .

Es gilt mit .

Es gilt mit .

Die dritte Aussage ist sehr technisch und wahrscheinlich für Sie selten von Nutzen. Dagegen liefert die zweite der drei äquivalenten Aussagen die schon im vorigen Abschnitt erwähnte anschauliche geometrische Beschreibung der totalen Differenzierbarkeit und der Jacobi-Matrix von als Matrix der sich an der Stelle annähernden affin linearen Abbildung.