J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Ein Beispiel:Die Funktion mit

besitzt die Komponentenfunktionen , und .

Genau wie im vorigen Abschnitt »Viele Wege führen dahin: Stetigkeit« für reellwertige Funktionen mehrerer Variablen kann Stetigkeit auch für Funktionen definiert werden.

Die Stetigkeitsdefinition aus dem Abschnitt »Viele Wege führen dahin: Stetigkeit« können Sie wörtlich auf Funktionen übertragen; allerdings müssen Sie dabei beachten, dass nicht nur die Punktfolgen aus Punkten eines mehrdimensionalen Raumes, dem , bestehen, sondern auch die zugehörigen Folgen der Funktionswerte . Der Grenzwert

ist also ebenfalls als ein Grenzwert einer Punktfolge in einem mehrdimensionalen Raum, dem , zu verstehen.

Unter den wichtigen und interessanten Eigenschaften einer Funktion stehen Stetigkeit und Differenzierbarkeit an erster Stelle. Beides sind sogenannte Änderungsmodi einer Funktion. Ist eine Funktion stetig, so wissen Sie, dass eine kleine Änderung im Argument nur eine (vergleichsweise) kleine Änderung im Funktionswert zur Folge haben kann. Stetige Funktionen können nicht springen. Ist die Funktion zusätzlich differenzierbar, dann können Sie die Änderungsrate an einer bestimmten Stelle auch quantitativ angeben und erhalten dadurch die Ableitung. Anders als bei reellwertigen Funktionen einer einzigen Variablen gibt es für Funktionen zwischen mehrdimensionalen Räumen verschiedene Ableitungsbegriffe: partielle Ableitung , totale Ableitung oder Richtungsableitung . Dieser Abschnitt beschreibt diese Begriffe und liefert damit eine Einführung in die mehrdimensionale Differentialrechnung. Zunächst erkläre ich Ihnen dabei den Begriff der partiellen Ableitung für reellwertige Funktionen.

Für eine reellwertige Funktion einer einzigen Variablen ist die Ableitung in einem Punkt nach dem Abschnitt »Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion« in Kapitel 1als Grenzwert des Differerenzenquotienten definiert. Anschaulich ergibt dieser Grenzwert, wenn er existiert, die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion in diesem Punkt.

Stellen Sie sich nun eine reellwertige Funktion von Variablen vor. Erlauben Sie bei dieser Funktion für einen Moment nur einer einzigen Variablen, zum Beispiel mit , sich tatächlich zu verändern, und halten Sie die restlichen Variablen fest: , dann erhalten Sie praktisch eine reellwertige Funktion einer einzigen Variablen:

Anschaulich gesprochen stellt die Funktion in Richtung der -ten Koordinate dar.

Diese neue Funktion können Sie mit den Methoden der eindimensionalen Analysis aus dem Abschnitt »Eindimensionale Analysis« in Kapitel 1untersuchen, beispielsweise auf Differenzierbarkeit.

Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten

von an einer Stelle , dann ist an dieser Stelle differenzierbar, und Sie erhalten mit der Ableitung von an einer Stelle gleichzeitig die Änderungsrate der Funktion am Punkt entlang der -ten Koordinatenrichtung. Diese Änderungsrate wird die -te partielle Ableitung von genannt.