J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Die formale Definition der partiellen Ableitung vermeidet zwar den Umweg über Hilfsfunktionen , bedeutet aber genau dasselbe.

Die Funktion mit Definitionsbereich heißt im Punkt partiell nach differenzierbar , falls der Grenzwert

existiert.

Der Grenzwert heißt die partielle Ableitung von nach in und wird mit

bezeichnet.

Trotzdem entspricht die partielle Ableitung von nach in der ganz normalen »eindimensionalen« Ableitung der Funktion

als Funktion der Variablen an der Stelle , wobei die übrigen fest und damit bei der Differentiation als Konstante anzusehen sind. Es gilt:

Ein Beispiel:Betrachten Sie die Funktion mit Definitionsbereich . Zur Berechnung der partiellen Ableitung gehen Sie Schritt für Schritt so vor:

1 Setzen Sie .

2 Leiten Sie die Funktion ab.Das heißt: Berechnen Sie die Ableitung . Es gilt:

3 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

Analog erhalten Sie die beiden anderen partiellen Ableitungen der Funktion :

1 Setzen Sie .

2 Leiten Sie die Funktion ab.

3 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

4 Setzen Sie .

5 Leiten Sie die Funktion ab.

6 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

Mit ein wenig Übung werden Sie partielle Ableitungen direkt berechnen können und den Umweg über die Hilfsfunktionen nicht mehr benötigen.

Der Weg über die Hilfsfunktionen zur Berechnung partieller Ableitungen ist nicht notwendig, sondern nur eine Hilfe. Falls Sie sich sicher fühlen, dürfen Sie auch direkt »in der Funktion « nach der entsprechenden Variablen ableiten.

Hierzu ein Beispiel:Die Gasdruckfunktion aus dem Abschnitt »Viele Variablen und ein Funktionswert« am Anfang dieses Kapitels hat die partiellen Ableitungen:

Sie sehen: Die Berechnung partieller Ableitungen ist genauso einfach, wie die Berechnung der Ableitung einer reellwertigen Funktion einer einzigen Variablen. Sie müssen dabei nur die jeweils anderen Variablen für den Moment als festgehaltene Parameter betrachten. Für eine »eindimensionale« Funktion ist die partielle Ableitung

sogar genau dasselbe wie die gewöhnliche Ableitung dieser Funktion.

Bei der Berechnung von partiellen Ableitungen dürfen Sie die Rechenregeln für gewöhnliche Ableitungen verwenden.