J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Eine Abbildung heißt affin lineare Abbildung , wenn sie als Summe einer gewöhnlichen linearen Abbildung mit Matrix und eines konstanten Vektors geschrieben werden kann.

Mit dieser Definition bedeutet die Aussage

nichts anderes, als dass Sie durch die affin lineare Abbildung

annähern können. Sie machen dabei einen Fehler , der für gegen null geht.

Kurz gesagt: Nah der Stelle sieht eine (total) differenzierbare Funktion wie eine affin lineare Abbildung aus.

Je nach den Dimensionen der beteiligten Räume und sehen die Jacobi-Matrizen unterschiedlich aus und entarten in zwei Spezialfällen sogar zu Vektoren:

Der Fall : Die Abbildung beschreibt eine Kurve im -dimensionalen Raum. Die Ableitung entspricht einer sich im Kurvenpunkt an die durch beschriebene Kurve annähernden Geraden. Die Jacobi-Matrix ist in diesem Fall eine einspaltige Matrix: ein Spaltenvektor.

Der Fall : Es handelt sich hier um eine reellwertige Funktion von Veränderlichen. Stellen Sie sich dabei zum Beispiel eine Funktion vor, die die Temperatur (eine Zahl) an jedem Punkt im Raum beschreibt. Die Matrix entspricht in so einem Fall einem Zeilenvektor des , dem transponierten Gradienten :Mehr zum Gradienten einer reellwertigen Funktion finden Sie im Abschnitt »Praktische Berechnung der totalen Ableitung« weiter unten in diesem Kapitel.

Im Abschnitt »Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion« in Kapitel 1wird die geometrische Bedeutung der Ableitung einer reellwertigen Funktion von einer reellen Variablen als Steigung der Tangente beschrieben. Genau wie im allgemeinen Fall im letzten Abschnitt können Sie im eindimensionalen Fall eine differenzierbare Funktion in der Nähe der Stelle durch die affin lineare Funktion

annähern: Diese affine Funktion ist die Tangente an den Graphen von an der Stelle , die in Abbildung 2.4dargestellt ist.

Abbildung 2.4: Die Tangente zum Graphen von an der Stelle

Die Jacobi-Matrix entspricht in diesem Spezialfall einer -Matrix, also einer Zahl, nämlich der Ableitung . Das ist nichts anderes als die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt .

Wenn die Tangente in einer Umgebung von eine gute Approximation an die Funktion sein soll, muss

mit gelten, der Fehler muss gegen null gehen, wenn Sie mit gegen den Punkt wandern.