J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Wie am Anfang dieses Abschnitts gesagt wurde, existieren für eine total differenzierbare Funktion auch die partiellen Ableitungen. Die Umkehrung stimmt aber nicht immer: Eine Funktion kann an einer Stelle zwar alle partiellen Ableitungen besitzen, sie muss aber trotzdem nicht total differenzierbar sein.

Ein Beispiel:Die Funktion mit

ist nach dem Abschnitt »Nur einen Teil: Die partielle Ableitung« an der Stelle zwar nicht stetig, aber besitzt dort beide partiellen Ableitungen und . Wäre die Funktion dort auch total differenzierbar, dann müsste in stetig sein. Da sie das nicht ist, kann sie dort nicht total differenzierbar sein.

Die totale Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet also tatsächlich mehr als die Existenz aller partiellen Ableitungen, auch wenn Sie, falls die betreffende Funktion überhaupt total differenzierbar ist, die totale Ableitung über die partiellen Ableitungen ausrechnen können.

Das klingt verwirrend und stellt in der Tat eine Falle dar, in die Sie bei Differenzierbarkeitsuntersuchungen geraten könnten. Allerdings können Sie den partiellen Ableitungen oft ansehen, dass die Funktion auch total differenzierbar ist.

Ist eine Funktion in einer Umgebung von nach allen Variablen partiell differenzierbar und alle partiellen Ableitungen sind im Punkt stetig, dann ist die Funktion in auch total differenzierbar.

Für sehr viele praxisrelevante Funktionen können Sie die Stetigkeit der partiellen Ableitungen leicht feststellen und erhalten damit dann automatisch die totale Differenzierbarkeit.

Ein Beispiel:Die Funktion

ist in der Umgebung eines jeden Punkts partiell differenzierbar:

Diese partiellen Ableitungen sind Polynome in den drei Variablen und und daher überall stetig. Damit ist die Funktion überall total differenzierbar.

Wie im Abschnitt »Nur einen Teil: die partielle Ableitung« erläutert wurde, sind die partiellen Ableitungen der Funktion die Änderungsraten der Funktion in die Richtungen der -ten Koordinatenachse. Ähnlich wie die partiellen Ableitungen in Richtung der Koordinantenachsen gibt es Richtungsableitungen einer Funktion in beliebige Richtungen .

Für eine reellwertige Funktion können Sie sich vorstellen, dass die partiellen Ableitungen Ihnen die Steigung des Graphen in die durch die Koordinantenachsen vorgegebenen Himmelsrichtungen angibt. Eine Richtungsableitung in Richtung gibt Ihnen entsprechend die Steigung des Graphen in dieser Richtung an.

Für eine Funktion und einen Richtungsvektor heißt