J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Ist eine Funktion in total differenzierbar, so ist sie in diesem Punkt auch stetig.

Im Umkehrschluss können Sie damit folgern, dass eine Funktion an einer Unstetigkeitsstelle nie total differenzierbar sein kann.

Ähnlich wie die übliche Ableitung ist die totale Ableitung über einen Grenzwertprozess definiert. Die direkte Berechnung durch Grenzwertbildung ist allerdings in den meisten Fällen kompliziert und unnötig.

Falls eine reellwertige Funktion von Variablen an einer Stelle total differenzierbar ist, dann existieren dort auch die partiellen Ableitungen , und es gilt:

Dieser mathematische Satz stellt nicht nur sicher, dass eine total differenzierbare Funktion auch partielle Ableitungen besitzt, sondern Sie erhalten daraus auch eine einfache und praktische Berechnungsmethode für die totale Ableitung.

Zur praktischen Berechnung der totalen Ableitung einer reellwertigen Funktion von Variablen berechnen Sie, wie in: »Nur einen Teil: Die partielle Ableitung«, alle partiellen Ableitungen von .

Die totale Ableitung ist dann durch den Zeilenvektor

gegeben.

Der Ableitungsvektor einer reellwertigen Funktion wird so häufig gebraucht, dass er einen eigenen Namen verdient.

Der -dimensionale Spaltenvektor

heißt Gradient von an der Stelle .

Der Gradient einer reellwertigen Funktion ist die transponierte totale Ableitung von . Der Gradient ist ein Spaltenvektor, während die totale Ableitung von ein Zeilenvektor ist.

Diesen Zusammenhang zwischen partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung einer reellwertigen Funktion finden Sie analog auch bei vektorwertigen Funktionen.

Existiert die totale Ableitung einer vektorwertigen Funktion mit den Komponentenfunktionen an der Stelle , dann existieren dort auch die partiellen Ableitungen von . Die totale Ableitung von ist dann durch die Matrix

gegeben. Wie im Abschnitt »Totale Differenzierbarkeit« bereits erwähnt wurde, heißt diese Matrix Jacobi-Matrix von .