J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Der Funktionswert heißt lokales Maximum beziehungsweise lokales Minimum von .

Ein heißt lokale Extremalstelle von , wenn es eine lokale Minimal- oder Maximalstelle ist.

Die Bestimmung von Extremstellen beruht auf einigen grundlegenden Eigenschaften lokaler Maxima beziehungsweise lokaler Minima. Dabei reicht es zunächst, wenn Sie sich die Eigenschaften lokaler Extrema ansehen, denn jedes globale Extremum ist auch ein lokales Extremum.

Ist die Funktion auf dem offenen Intervall definiert und an der Stelle differenzierbar, dann gilt:

Ist eine lokale Extremalstelle, dann ist .

Tatsächlich muss die Ableitung nicht einmal stetig sein, es reicht schon, dass die Ableitung an einer Extremalstelle von existiert. Dann muss gelten.

Ein Punkt des Definitionsbereichs von mit verschwindender Ableitung heißt ein stationärer oder kritischer Punkt .

Ein stationärer Punkt von ist nicht notwendig eine Extremalstelle.

Es gilt nur: Ist eine lokale Extremalstelle, , nicht die Umkehrung.

Außerdem kann eine Funktion eine lokale Extremstelle in einem Punkt ihres Definitionsbereichs haben, ohne dort differenzierbar zu sein.

Bei der Suche nach den lokalen oder globalen Maxima und Minima einer Funktion auf einem Intervall sind die stationären Punkte mögliche Kandidaten. Da aber nicht jeder stationäre Punkt auch eine Extremstelle ist, müssen diese Punkte weiter untersucht werden.

Die zweite Ableitung ist ein Hilfsmittel, mit dem Sie an kritischen Punkten entscheiden können, ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt.

Ist die Funktion auf dem offenen Intervall zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für Punkte :

Ist und , so ist eine lokale Maximalstelle.

Ist und , so ist eine lokale Minimalstelle.

Ist , dann können Sie nicht direkt entscheiden, ob ein Minimum, ein Maximum oder ein Sattelpunkt vorliegt.

Ein kritischer Punkt der Definitionsmenge einer differenzierbaren Funktion , der weder eine Minimalstelle noch eine Maximalstelle von ist, heißt Sattelpunkt von .

Sattelpunkte sind Spezialfälle von Wendepunkten , die gleichzeitig kritische Punkte sind. An Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten des Graphen von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt.

Ist ein Punkt der Definitionsmenge einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion mit und hat die zweite Ableitung links von ein anderes Vorzeichen als rechts von , das heißt, gilt entweder