J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Bei der Grenzwertdefinition für Funktionen ist es wichtig, dass alle möglichen Folgen mit Grenzwert untersucht werden. Bekommen Sie für verschiedene solcher Folgen verschiedene Grenzwerte der Funktionswertfolgen , so existiert der Funktionsgrenzwert nicht. Dieselben Rechenregeln wie für die Berechnung von Folgengrenzwerten helfen Ihnen auch bei der Berechnung von Grenzwerten von Funktionen.

Konvergieren die beiden reellwertigen Funktionen und mit gemeinsamem Definitionsbereich an der Stelle gegen die Grenzwerte beziehungsweise , dann gelten die folgenden Rechenregeln:

Jede Linearkombination mit konvergiert gegen die Linearkombination der Grenzwerte:

Die Produktfunktion konvergiert gegen das Produkt der Grenzwerte:

Falls ist und auf , konvergiert die Quotientenfunktion gegen den Quotienten der Grenzwerte:

Mit Hilfe von Grenzwerten für Funktionen wird der wichtige Begriff Stetigkeit definiert.

Eine Funktion mit Definitionsbereich heißt stetig an der Stelle , falls

ist.

Eine Funktion mit Definitionsbereich heißt stetig auf der Menge , falls an jeder Stelle stetig ist.

Die Frage nach dem Änderungsverhalten einer Funktion führt über eine weitere Grenzwertbetrachtung zum Begriff der Differenzierbarkeit. Ist eine auf einem Intervall definierte Funktion, dann nennt man den Quotienten

den Differenzenquotienten von an der Stelle . Er beschreibt die Änderung der Funktionswerte in Abhängigkeit von der Änderung der Argumente und entspricht anschaulich der Steigung einer Geraden durch die beiden Punkte und . Der Grenzwert des Differenzenquotienten für entspricht dann der Tangentensteigung an die Funktion im Punkt , das heißt: der Ableitung .

Die Funktion heißt an der Stelle differenzierbar , falls für gegen der Grenzwert des Differenzenquotienten