J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Der Grenzwert der Produktfolge ist Produkt der Grenzwerte:

Falls die Folgenglieder und der Grenzwert sind, dann ist der Grenzwert der Quotientenfolge der Quotient der Grenzwerte:

Beträge können Sie herausziehen:

Wenn Sie die Elemente einer Folge oder einer nicht leeren (unendlich großen) Teilmenge eines normierten Raums betrachten, ist es manchmal wichtig zu wissen, wie diese Elemente verteilt sind. Beispielsweise können alle Elemente gleich weit voneinander entfernt sein, wie die natürlichen Zahlen oder sich um einen bestimmten Punkt ansammeln. Denken Sie an die Menge , deren Elemente sich um den Punkt 0 häufen. Solche Punkte werden Häufungspunkte oder Häufungswerte genannt.

Ein Punkt heißt Häufungspunkt der Teilmenge , falls in jeder beliebigen noch so kleinen Umgebung mindestens noch ein weiterer, von verschiedener Punkt liegt.

Ein Häufungspunkt einer Menge kann, aber muss nicht Element von sein. Außerdem kann eine Menge mehrere verschiedene Häufungspunkte haben.

Aus der Definition des Begriffs Häufungspunkt folgt sofort, dass in jeder beliebigen Umgebung eines Häufungspunkts von unendlich viele Punkte aus liegen: Sie können um den Häufungspunkt unendlich viele konzentrische geschachtelte -Umgebungen mit mit immer kleinerem Radius so anordnen, dass bei für die Umgebungen gilt. Betrachten Sie dazu Abbildung 1.2. In jeder Umgebung muss mindestens ein liegen. Diesen Punkt können Sie so wählen, dass und für alle ist. Da innerhalb von unendlich viele weitere Umgebungen liegen, müssen wirklich unendlich viele Punkte in jeder dieser Umgebungen von enthalten sein. Die Elemente von häufen sich im wahrsten Sinne des Wortes.

Abbildung 1.2: In jeder Umgebung des Häufungspunkts liegen unendlich viele Punkte

Für die eindimensionale Analysis sind oft Grenzwerte von Funktionen interessant. Vergleichen Sie beispielsweise die beiden Graphen in Abbildung 1.3, dann stellen Sie sofort einen prinzipiellen Unterschied fest: An der Stelle springt die linke Funktion, während der Graph der rechten Funktion dort durchgehend weiterverläuft.