J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Viele wichtige analytische Begriffe wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind über Grenzwerteigenschaften bestimmter Folgen definiert.

Eine Folge von Elementen einer Menge ist eine Abbildung

der Menge der ganzen Zahlen in den Raum , wobei der Definitionsbereich nach unten beschränkt ist.

heißt der Indexbereich der Folge. Mit schreibt man für die Folge auch .

Die Indexmenge einer Folge kann bei einer beliebigen ganzen Zahl beginnen:

In Kurzschreibweise wird dies zu . Das erlaubt, ein einfaches Bildungsgesetz für das allgemeine Folgenglied mit anzugeben.

Folgenglieder können aus beliebigen Mengen stammen, beispielsweise aus einem der Spaltenvektorräume oder einer endlichen Menge mit irgendwelchen Elementen oder einfach aus den reellen oder komplexen Zahlen. In diesem Buch werden Sie es mit reellen und komplexen Zahlenfolgen , deren Folgenglieder oder reelle beziehungsweise komplexe Zahlen sind, und mit Punktfolgen von Spaltenvektoren zu tun haben.

In diesem Buch werden die meisten auftretenden Folgen aus oder stammen. Die behandelten Begriffe lassen sich aber fast immer auch auf beliebige endlichdimensionale Räume übertragen.

Ich werde im Folgenden Punkte aus meist ohne Pfeile darstellen:

Allerdings wird ab und zu zur besonderen Verdeutlichung der Vektoreigenschaften auch die Pfeilschreibweise in diesem Buch verwendet werden.

Grundlegend und sehr wichtig sind die Begriffe Umgebung und -Umgebung eines Punktes .

Die Menge

mit heißt -Umgebung von . Dabei heißt

die euklidische Norm .

Eine Teilmenge heißt eine Umgebung von , falls es eine reelle Zahl gibt, sodass ist.