J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Der Begriff einer Umgebung erlaubt die Definition einiger weiterer wichtiger mathematischer Begriffe.

Eine Menge heißt offen , falls es für jeden Punkt eine Umgebung gibt, die ganz in der Menge enthalten ist: .

Der Rand einer Menge ist die Menge aller Punkte , für die jede Umgebung sowohl Punkte aus der Menge als auch Punkte aus dem Komplement der Menge enthält.

Der Abschluss einer Menge bezeichnet die Menge

das Innere der Menge ist

Die Elemente heißen innere Punkte von .

Mit Hilfe der beiden Begriffe Umgebung und -Umgebung können Sie von konvergenten Folgen und ihren Grenzwerten sprechen.

Eine Folge mit Folgengliedern heißt konvergent , falls es ein gibt, sodass es zu jeder reellen Zahl eine Zahl mit der Eigenschaft

gibt. heißt Grenzwert oder Limes der Folge .

Eine nicht konvergente Folge heißt divergent .

Eine Folge von Punkten konvergiert also gegen den Grenzwert , in Formeln

falls eine der folgenden beiden Bedingungen erfüllt ist:

,

für alle .

Diese Bedingungen sind äquivalent: Falls eine davon erfüllt ist, ist es automatisch auch die andere.

Grenzwertuntersuchungen sind im Allgemeinen nicht einfach. Verschiedene Rechenregeln für Grenzwerte können Ihnen das Leben dabei etwas leichter machen.

Die folgenden Regeln gelten dann, wenn die beteiligten Folgen und konvergent sind:

Konstante Faktoren können Sie herausziehen:

Die Grenzwerte von Summen- beziehungsweise Differenzfolgen dürfen addiert (beziehungsweise subtrahiert) werden: