J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Lineare Gleichungssysteme, kurz LGS, treten bei vielen mathematischen Fragestellungen auf. Beispielsweise müssen Sie beim in Kapitel 4behandelten Newton-Verfahren zur Approximation von Nullstellen einer mehrdimensionalen Funktion in jedem Schritt ein LGS lösen. Ein LGS können Sie formal als

mit der Systemmatrix , dem gesuchten Vektor und dem Vektor der rechten Seite schreiben. Die meisten LGS, die in diesem Buch vorkommen werden, sind quadratische LGS , das heißt: . Die Systemmatrix ist also quadratisch, und die beiden Vektoren und gehören demselben Vektorraum an.

Manchmal empfiehlt es sich, ein LGS zuerst auf Lösbarkeit zu untersuchen, bevor Sie versuchen, die Lösung zu berechnen. Dies können Sie für quadratische LGS beispielsweise mit Hilfe der sogenannten Determinante der Systemmatrix machen. Die eigentliche mathematische Definition der Determinanten ist etwas kompliziert, allerdings reicht es aus, eine Berechnungsvorschrift für Determinanten anzugeben.

Für eine quadratische Matrix mit

heißt die Zahl

die Determinante von . Für eine Matrix ist

Determinanten für Matrizen mit mehr als drei Zeilen und Spalten berechnen Sie mit Hilfe des sogenannten Laplaceschen Entwicklungssatzes über die Kofaktoren bestimmter Matrixkomponenten.

Ist eine quadratische Matrix mit Zeilen und Spalten, dann heißt die quadratische Matrix mit Zeilen und Spalten, die aus durch Streichen der -ten Zeile und der -ten Spalte entsteht, die Untermatrix .

heißt der Kofaktor zum Element der Matrix .

Mit Hilfe von Untermatrizen lassen sich ganz allgemein Determinanten auf zwei Weisen rekursiv berechnen.

Die eine Möglichkeit ist die Entwicklung nach der -ten Spalte : für ist:

Die andere Variante ist die Entwicklung nach der -ten Zeile : für ist:

Mit diesen beiden Methoden können Sie die Berechnung der Determinante jeder quadratischen Matrix auf die Berechnung von Determinanten quadratischer Matrizen mit nur zwei Zeilen und Spalten zurückführen.

Determinanten werden zum Beispiel bei der weiter unten in diesem Kapitel beschriebenen Eigenwertberechnung und bei der Transformation verschiedener Koordinatensysteme zur mehrdimensionalen Integration benötigt, die in Kapitel 6behandelt wird.

Außerdem können Sie mit Hilfe der Determinante der Systemmatrix die eindeutige Lösbarkeit eines quadratischen LGS feststellen.

Ist für die Systemmatrix eines quadratischen LGS

die Determinante von null verschieden, dann existiert ein einziger Lösungsvektor für dieses LGS. Ist dagegen , dann gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen des LGS.