J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

In diesem Buch werden überwiegend die beiden reellen Vektorräume und auftreten, die gleichwertig entweder als zwei- beziehungsweise dreidimensionale Spaltenvektorräume oder als zwei- oder dreidimensionale Zeilenvektorräume aufgefasst werden.

Zwischen Spaltenvektoren

und Zeilenvektoren können Sie mit Hilfe der Transposition umschalten. Die mit einem hochgestellten bezeichnete Transposition vertauscht Zeilen mit Spalten:

Spaltenvektoren (und analog Zeilenvektoren) werden komponentenweise addiert:

Die Vektoraddition ist kommutativ und assoziativ.

Jeden reellen Vektor können Sie mit einer beliebigen reellen Zahl skalar multiplizieren . Die skalare Multiplikation wird ebenfalls komponentenweise durchgeführt:

Vektoraddition und skalare Multiplikation werden auch für reelle Zeilenvektoren komponentenweise definiert.

Mit Hilfe des Standardskalarprodukts können Sie Winkel zwischen zwei Vektoren

definieren und die euklidische Norm oder Länge eines Vektors bestimmen.

Für beliebige Vektoren heißt die reelle Zahl

das Standardskalarprodukt der Vektoren und . Eine häufig verwendete Kurzschreibweise für das Skalarprodukt ist

Die euklidische Norm eines Vektors ist durch

definiert.

Den Winkel zwischen den beiden Vektoren bestimmen Sie aus dem Skalarprodukt der beiden Vektoren mit einer einfachen Formel.

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren und aus lässt sich nach der Formel

bestimmen.

Für die Darstellung von Flächenintegralen werden in Kapitel 8einige Eigenschaften des Vektor- oder Kreuzprodukts zweier Vektoren benötigt.

Für zwei Vektoren

heißt der durch

definierte Vektor das Vektor- oder Kreuzprodukt von und .

Für Kreuzprodukte gelten die folgenden Rechenregeln:

für beliebige Zahlen

Zwei Vektoren und sind genau dann linear abhängig, wenn das Kreuzprodukt ergibt.

Für drei Vektoren gelten:

Das Kreuzprodukt ist antisymmetrisch , das heißt: .

Das Assoziativgesetz ist für das Vektorprodukt im Allgemeinen nicht erfüllt!

Das Kreuzprodukt ist orthogonal zu und zu .