J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

eigentlich existiert , das heißt nicht ist.

In diesem Fall wird der Grenzwert mit bezeichnet und heißt die Ableitung der Funktion an der Stelle .

Eine häufig verwendete Schreibweise für ist der Differentialquotient :

Nicht alle Funktionen besitzen an jeder beliebigen Stelle eine Ableitung, manche Funktionen sind sogar nirgends differenzierbar. Andere Funktionen sind dagegen auf ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar und definieren damit eine weitere Funktion.

Eine Funktion heißt auf differenzierbar, falls an jeder Stelle differenzierbar ist. Die Funktion mit

heißt Ableitung der Funktion .

Die Ableitung einer Funktion hat eine anschauliche geometrische Bedeutung: Betrachten Sie die in Abbildung 1.4dargestellte Gerade durch die beiden Punkte und .

Abbildung 1.4: Die Gerade durch die beiden Punkte und

Der Differenzenquotient entspricht gerade der Steigung der Geraden . Wenn Sie den Grenzübergang durchführen, erhalten Sie die Gerade mit:

Das ist die Tangente zum Graphen der Funktion an der Stelle .

Die Ableitung entspricht also der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt und wird daher auch Steigung der Funktion an der Stelle genannt.

Natürlich können Sie auch bei einer Ableitung fragen, ob diese wieder differenzierbar ist. Und falls dies so ist, auch für die Ableitung der Ableitung und so weiter. Das rechtfertigt die folgende Definition der n-ten Ableitung .

Unter der Voraussetzung, dass die Funktion und die entsprechenden Ableitungsfunktionen von jeweils differenzierbar sind, bezeichnet man: