J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Allgemein:

Dabei heißt die -te Ableitung von .

Eine Funktion heißt -mal differenzierbar , falls ihre -te Ableitung existiert.

Eine Funktion heißt -mal stetig differenzierbar , wenn existiert und stetig ist.

Genau wie für die erste Ableitung gilt auch für die zweite und jede weitere Ableitung einer entsprechend oft differenzierbaren Funktion , dass diese nicht unbedingt stetig sein müssen.

Bei der Untersuchung auf Extremstellen wird zwischen globalen oder lokalen Extremstellen unterschieden. Als globale Extremstellen der Funktion werden die Stellen im Definitionsbereich von bezeichnet, an denen die größten beziehungsweise kleinsten Funktionswerte angenommen werden.

Ist eine reelle Funktion, dann heißt eine globale Maximalstelle von , falls

ist. Gilt für eine Stelle :

dann heißt eine globale Minimalstelle von .

Der Funktionswert an einer globalen Extremstelle heißt globales Minimum beziehungsweise globales Maximum von .

Ein heißt globale Extremalstelle von , wenn es eine globale Minimal- oder Maximalstelle ist.

Lokale Extremstellen sind solche, bei denen der Funktionswert zwar größer (oder kleiner) ist als alle anderen Funktionswerte in der Nähe, aber nicht unbedingt der größte (oder kleinste) Funktionswert, der überhaupt auftritt – sozusagen ein Berggipfel, der nicht unbedingt der höchste Berg des Gebirges sein muss.

Ist eine reelle Funktion mit Definitionsbereich , dann heißt lokale Maximalstelle von , falls es ein gibt, sodass für alle gilt: .

Ein Punkt heißt lokale Minimalstelle von , falls es ein gibt, sodass für alle gilt: .