RIO - Text.p65

÷èñåë x è y òàêóþ, ÷òî ñîáûòèÿ X = x è Y = y íå íåçàâèñèìû, òî íå íåçàâèñè-

ìû è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y. Ñîáûòèÿ X = 6 è Y = 6 íå íåçàâèñèìû, ïîñêîëüêó

P((X = 6) ∩ (Y = 6)) ≠ P(X = 6) P(Y = 6).

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà Àíÿ è Áåòòè ìîãóò çâîíèòü ñ äâóõ ðàç-

íûõ òåëåôîíîâ. Òîãäà ïðèâåäåííûå âîçðàæåíèÿ ïðîòèâ òîãî, ÷òîáû ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìûìè, îòïàäàþò.

25

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Àâòîðó íåèçâåñòíû ðåàëüíûå ïðèêëàäíûå çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ

êîòîðûõ áûëî áû íóæíî ìîäåëèðîâàòü ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàçãîâîðà ñòóäåíòîê ïî òåëåôîíó â ïåðåðûâå ìåæäó çàíÿòèÿìè ïðè ïîìîùè ñëó-

÷àéíûõ âåëè÷èí. Äàííûé ïðèìåð, êàê è ìíîãèå äðóãèå ïðèìåðû, ïðè-

âåäåííûå â ýòîé êíèãå, íîñèò ó÷åáíûé èëè ïîëóó÷åáíûé õàðàêòåð.

Íî ñóùåñòâóþò âàæíûå ïðèêëàäíûå çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ òå

èëè èíûå ÷èñëîâûå ïîêàçàòåëè ìîäåëèðóþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíà-

ìè. Íàïðèìåð, ýòî çàäà÷è ðàñ÷åòà áåçàðáèòðàæíîé öåíû ôèíàíñîâîãî èíñòðóìåíòà è îïðåäåëåíèÿ ñòðàòåãèè õåäæèðîâàíèÿ. Çäåñü ñëó÷àéíû-

ìè âåëè÷èíàìè ìîäåëèðóþòñÿ öåíû îñíîâíûõ àêòèâîâ, ïðîöåíòíûå

ñòàâêè, çíà÷åíèÿ îáìåííûõ êóðñîâ. Äðóãîé ïðèìåð — ýòî ìàêðîýêîíî-

ìè÷åñêèå çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ èçó÷åíèåì ðîñòà âàëîâîãî âíóòðåííåãî ïðîäóêòà è âûÿâëåíèåì âëèÿíèÿ îòäåëüíûõ ôàêòîðîâ íà åãî èçìåíå-

íèå. Íî ñëîæíîñòü èñïîëüçóåìîãî äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ àïïàðàòà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íå ïîçâîëÿåò ñîåäèíèòü èçëîæåíèå íà÷àë äàííîãî ðàçäåëà ìàòåìàòèêè ñ ðàññìîòðåíèåì ñåðüåçíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷.

Ïðèâåäåì äðóãîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðè÷åì íå òîëüêî äëÿ äâóõ, íî è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Îïðåäåëåíèå. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X , X , ..., X , 1

2

k

X : Ω → R, i = 1, 2, ..., k.

i

Ðàññìîòðèì íàáîð ÷èñåë a , i = 1, 2, ..., k (äîïóñêàåòñÿ, ÷òîáû a ïðè i

i

íåêîòîðûõ i ïðèíèìàëî çíà÷åíèå –∞) è íàáîð ÷èñåë b , i = 1, 2, ..., k i

(äîïóñêàåòñÿ, ÷òîáû b ïðè íåêîòîðûõ i ïðèíèìàëî çíà÷åíèå ∞) òàêèå, i

÷òî ïðè ëþáîì i, 1 ≤ i ≤ k,

–∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞.

i

i

Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ A ⊂ Ω, i = 1, 2, ..., k, ãäå A ñîñòîèò èç òåõ è i

i

òîëüêî òåõ ω ∈ Ω, äëÿ êîòîðûõ

a ≤ X (ω) ≤ b .

i

i

i

Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X , X , ..., X íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè 1

2

k

äëÿ ëþáûõ íàáîðîâ a , a , ..., a è b , b , ..., b , óäîâëåòâîðÿþùèõ 1

2

k

1

2

k

ïðèâåäåííûì âûøå óñëîâèÿì, ñîáûòèÿ A , A , ..., A íåçàâèñèìû.

1

2

k

26

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ç à ì å ÷ à í è å. Ïåðâîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè, äàííîå äëÿ

äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y, ìîæíî îáîáùèòü äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X , X , ..., X . Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ êî-

1

2

k

íå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ïåðâîå è âòîðîå îïðå-

äåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ýêâèâàëåíòíû. Íî (ýòî áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî) äëÿ áåñêîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåí-

òàðíûõ ñîáûòèé Ω äîïóñòèìî èñïîëüçîâàòü òîëüêî âòîðîå îïðåäåëå-

íèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X ,1

X , ..., X ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûì. ×òîáû ëó÷øå ïîíÿòü åãî, 2

k

ìîæíî ïîðåêîìåíäîâàòü ÷èòàòåëþ îáîáùèòü ïðèìåð 1.6 äëÿ òðåõ ñòó-

äåíòîê è ðàññìîòðåòü ðàçëè÷íûå âàðèàíòû, ïðè êîòîðûõ ñëó÷àéíûå

âåëè÷èíû X , X , X ìîãóò áûòü íåçàâèñèìûìè, è ïðè êîòîðûõ îíè íå

1

2

3

ìîãóò áûòü íåçàâèñèìûìè.

1.3

Îæèäàåìîå çíà÷åíèå

è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìíîæåñòâî Ω êîíå÷íî è ñîäåðæèò N ýëåìåíòîâ:

Ω = {ω , ω , ..., ω }.

1

2

N

Íàïîìíèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ω ìû îáî-

i

çíà÷àåì p , ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ — ýòî ôóíêöèÿ

i

X : Ω → R.

Îïðåäåëåíèå. Îæèäàåìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ

íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî

N

E ( X ) =

X (

∑ ω ) p .

i

i

i 1

=

27

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ïðèìåð 1.7.  ðàçíûå äíè ñòóäåíò çàòðà÷èâàåò ðàçíîå âðåìÿ íà äîðîãó äî óíèâåðñèòåòà. Ïóñòü Ω — ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç N äíåé, êàæäîìó ýëåìåíòàð-

íîìó ñîáûòèþ, ò.å. êàæäîìó äíþ ïðèïèøåì âåðîÿòíîñòü 1

p =

, 1

i = ,

2,

...,

N .

i

N

Ïóñòü Õ — ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ îçíà÷àåò âðåìÿ, çàòðà÷åí-

íîå ñòóäåíòîì íà äîðîãó äî óíèâåðñèòåòà â êàæäûé èç äíåé. Òîãäà ñðåäíåå

âðåìÿ, çàòðà÷èâàåìîå ñòóäåíòîì íà äîðîãó äî óíèâåðñèòåòà, 1 N

E ( X ) =

X (