RIO - Text.p65

Y +  −

E ( Y ) + σ c + E ( X ) X



σ

 σ

Y

Y



è äëÿ âòîðîãî ñëó÷àÿ

σ

 σ



X

X

X = −

Y +

E ( Y )



+ σ c + E ( X ) .

X



σ

 σ

Y

Y





Ñóùåñòâóåò ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω, êîòîðûé ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí òàê æå, êàê è ñëó÷àé êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω. Ýòî ñëó÷àé Ω = N. (Íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåç N ìû îáîçíà÷àåì ìíîæåñòâî N

öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, N = {1, 2, 3...}.) Âìåñòî ñóìì ∑ íàäî i 1

=

∞

ðàññìàòðèâàòü ñóììû ∑ è íàêëàäûâàòü óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå

i 1

=

ñõîäèìîñòü ðÿäîâ, ÷òî âûçûâàåò òðóäíîñòè ëèøü òåõíè÷åñêîãî õàðàê-

òåðà. Ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòîò ñëó÷àé âïëîòü äî ãëàâû 8, ãäå

34

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé îí îêàæåòñÿ íåîáõîäèì äëÿ èçó÷åíèÿ îäíîãî âàæíîãî êëàññà ñëó÷àé-

íûõ âåëè÷èí.

Áîëåå èíòåðåñíûì ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé (õîòÿ è íåäîñòàòî÷íûì äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ ñèòóàöèé) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà Ω = [0, 1]. Îòðåçîê [0, 1] — ýòî òîæå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Íî çäåñü îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåëüçÿ â êà-

÷åñòâå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí áðàòü ëþáûå ôóíêöèè Õ : [0, 1] → R,

à â êà÷åñòâå ñîáûòèé — ëþáûå ïîäìíîæåñòâà À ⊂ [0, 1].

Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ (åå êîíñòðóêöèÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíà)

Õ : [0, 1] → R,

îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì. Äëÿ ëþáîãî îòðåçêà [à, b] ⊂ [0, 1], ãäå à < b, è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñ ∈ R ñóùåñòâóåò òî÷êà z ∈ [à, b] òàêàÿ, ÷òî X(z) = ñ.

Òî åñòü ýòà ôóíêöèÿ íà ëþáîì ñêîëü óãîäíî ìàëîì îòðåçêå ïðèíèìàåò ëþáûå çíà÷åíèÿ. Êîíå÷íî, ýòà ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé. Èñ-

ïîëüçîâàíèå ïîäîáíûõ ôóíêöèé â êà÷åñòâå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè-

âåëî áû ê íåïðåîäîëèìûì òðóäíîñòÿì, íàïðèìåð îêàçàëîñü áû, ÷òî äëÿ ñîáûòèé

{ω ∈ [0, 1] : X(ω) ≤ c},

ãäå ñ — íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü âåðî-

ÿòíîñòü. Íî â òî æå âðåìÿ ÷ðåçìåðíîå ñóæåíèå êëàññà ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ïðèâîäèò ê íåâîçìîæíîñòè ïîñòðîèòü ñîäåðæàòåëüíóþ òåîðèþ.

Åùå îäíà íåïðèÿòíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Åñëè ñîáû-

òèå ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì, ïðèíàäëåæàùèì [0, 1] (à òàêèå ñîáûòèÿ ðàñ-

ñìàòðèâàòü ìîæíî), òî â êà÷åñòâå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ íàèáîëåå åñ-

òåñòâåííî âçÿòü äëèíó îòðåçêà. Òîãäà âåðîÿòíîñòü îòäåëüíîé òî÷êè ðàâíà íóëþ. Íî â òàêîì ñëó÷àå, êàêèì äîëæåí áûòü àíàëîã òåîðåìû î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé, âåäü îáúåäèíåíèå âñåõ òî÷åê ñîâïàäàåò ñ [0, 1]

è èìååò âåðîÿòíîñòü 1?

 ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω â êà÷åñòâå ñîáûòèé è ñëó-

÷àéíûõ âåëè÷èí ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïîäìíîæåñòâà è

÷èñëîâûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì.

35

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ôîðìóëèðîâêè ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâèé äîñòàòî÷íî ñëîæíû, è ìû ïðèâîäèòü èõ íå áóäåì. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî ïðè Ω = [0, 1]

1) â ÷èñëî ñîáûòèé âõîäÿò ëþáûå îòðåçêè, ïðèíàäëåæàùèå [0, 1], è îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà òàêèõ îòðåçêîâ; 2) â ÷èñëî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âõîäÿò âñå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè Õ : [0, 1] → R

è âñå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå ôóíêöèè.

Ñíà÷àëà îïðåäåëèì îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé. Ïóñòü îòðåçîê [0, 1]

ðàçáèò íà N îòðåçêîâ äëèíîé p , p , ..., p , íå èìåþùèõ ïîïàðíî îá-

1

2

N

ùèõ òî÷åê, êðîìå êîíöîâ. Òàêèì îáðàçîì,

N

p

∑ =1.

i

i 1

=

Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó

Õ : Ω → R,

êîòîðàÿ ïîñòîÿííà âíóòðè êàæäîãî èç ýòèõ îòðåçêîâ è íåïðåðûâíà ñïðàâà (ñì. ðèñ. 1.12).

Ðèñ. 1.12. Ãðàôèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,

ÿâëÿþùåéñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé

36

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îáîçíà-

÷èì õ , x , ..., x . Îæèäàåìîå çíà÷åíèå äàííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 1

2

N

îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå

N

E(X ) = ∑ ix ip.

i 1

=

Çàìåòèì, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå î÷åíü ïîõîæå íà îïðåäåëåíèå îæè-

äàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω.

Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç ω ñåðåäèíó i-ãî îòðåçêà, à âåðîÿòíîñòüþ ýëå-

i

ìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ñ÷èòàòü äëèíó äàííîãî îòðåçêà, òî îïðåäåëåíèå

áóäåò ñîâïàäàòü â òî÷íîñòè.

Îïðåäåëåíèå îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ÿâëÿ-

þùåéñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé íà [0, 1], ìîæíî çàïèñàòü è â äðóãîì âèäå:

1

E ( X ) = X ( )

ω d .

ω

∫0

Äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèè çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà è ñóììû ñîâïà-

äàþò. Íî ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà îæèäàåìîå çíà÷åíèå ìîæíî îïðåäå-