RIO - Text.p65

ëèòü íå òîëüêî äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèè Õ(ω), íî è äëÿ ôóíê-

öèé áîëåå îáùåãî âèäà, íàïðèìåð, êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ (ñì. ðèñ. 1.13).

Ïîñêîëüêó äëèíà îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíà 1, òî òàê îïðåäåëåí-

íîå îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — ýòî â íåêîòîðîì ñìûñëå ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè X íà îòðåçêå [0, 1].

Ðèñ. 1.13. Ãðàôèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ÿâëÿþùåéñÿ

êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé

37

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Åñëè îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îïðåäåëåíî, òî äèñïåðñèÿ, êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïî òåì æå ôîðìó-

ëàì, ÷òî è â ñëó÷àå êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω.

 êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà áåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåí-

òàðíûõ ñîáûòèé Ω âîçüìåì åäèíè÷íûé êâàäðàò (ñì. ðèñ. 1.14).

Ðèñ. 1.14. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ÿâëÿþùååñÿ åäèíè÷íûì êâàäðàòîì, è ñîáûòèå À ⊂ Ω

" "!

Ðèñ. 1.15. Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ À è  â ñëó÷àå, êîãäà ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì êâàäðàòîì 38

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè ñî ñòîðîíà-

ìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò. Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À —

ýòî ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà.

Íà ðèñ. 1.15 èçîáðàæåíû íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ À è Â. Äåéñòâè-

òåëüíî, ïëîùàäü ìíîæåñòâà À ðàâíà à ´ 1 = a; ïëîùàäü ìíîæåñòâà Â

ðàâíà 1 ´ b = b; ïëîùàäü ìíîæåñòâà A ∩ B ðàâíà a ´ b, ò.å. óñëîâèå

íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé

Ð(À ∩ Â) = Ð(À) Ð(Â)

âûïîëíåíî.

Ðàññìàòðèâàÿ åäèíè÷íûé êâàäðàò Ω = [0, 1]2, ãäå

[0, 1]2 = {(x , x ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1}, 1

2

1

2

â êà÷åñòâå ñîáûòèé ìû äî ñèõ ïîð áðàëè òîëüêî ïðÿìîóãîëüíèêè ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò. Íî ìîæíî â êà÷åñòâå ñî-

áûòèé ðàññìàòðèâàòü ëþáûå ïîäìíîæåñòâà åäèíè÷íîãî êâàäðàòà, äëÿ

êîòîðûõ îïðåäåëåíà ïëîùàäü, è ïðèíèìàòü ýòó ïëîùàäü çà âåðîÿò-

íîñòü ñîáûòèÿ. Òîãäà ñîáûòèÿìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, êðóãè, òðåóãîëü-

íèêè, ïàðàëëåëîãðàììû. Áîëåå òîãî, ê ñîáûòèÿì âîçìîæíî îòíåñòè è íåêîòîðûå ìíîæåñòâà, äëÿ êîòîðûõ ïëîùàäü (â îáû÷íîì ñìûñëå) íå

îïðåäåëåíà. Ïðèìåðîì òàêîãî ìíîæåñòâà ìîæåò áûòü

∞

Ñ = ∪ K ,

m

m 1

=

ãäå K — êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå  1

1 

,

ðàäèóñà

1

(ðà-

m





 2 m 2 m 

3 m ( m + 1)

äèóñû âûáðàíû òàê, ÷òîáû êðóãè íå ïåðåñåêàëèñü). Âåðîÿòíîñòüþ ñî-

áûòèÿ C ÿâëÿåòñÿ ñóììà ðÿäà, m-é ÷ëåí êîòîðîãî — ýòî ïëîùàäü êðó-

ãà K .

mÅñëè ìíîæåñòâà A è B ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿìè, òî ñîáûòèåì ÿâëÿåò-

ñÿ è îáúåäèíåíèå ýòèõ ìíîæåñòâ, ïðè÷åì äëÿ âåðîÿòíîñòè îáúåäèíå-

íèÿ èìååò ìåñòî âûðàæåíèå

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

Ïóñòü òåïåðü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω — ýòî åäè-

íè÷íûé êóá

39

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà

[0, 1]3 = {(x , x , x ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1}.

1

2

3

1

2

3

Åñëè â êà÷åñòâå ñîáûòèÿ ðàññìîòðåòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ω, ÿâëÿþùååñÿ ïðÿìîóãîëüíûì ïàðàëëåëåïèïåäîì ñî ñòîðîíàìè, ïàðàë-

ëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò,

A = {(x , x , x ) : a ≤ x ≤ b , a ≤ x ≤ b , a ≤ x ≤ b }, 1

2

3

1

1

1

2

2

2

3

3

3

òî çà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ìîæíî ïðèíÿòü îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëå-

ïèïåäà

3

P ( )

A =

( b

∏ − a ).

i

i

i 1

=

 êà÷åñòâå ñîáûòèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è äðóãèå ïîäìíîæåñòâà åäè-

íè÷íîãî êóáà, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåí îáúåì, íàïðèìåð øàðû, òåòðà-

ýäðû, íåïðÿìîóãîëüíûå ïàðàëëåëåïèïåäû, è ïðèíèìàòü ýòîò îáúåì çà âåðîÿòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîáûòèÿ. Ê ñîáûòèÿì âîçìîæíî îòíå-

ñòè è íåêîòîðûå ìíîæåñòâà, äëÿ êîòîðûõ îáúåì (â îáû÷íîì ñìûñëå) íå îïðåäåëåí, íàïðèìåð ìíîæåñòâà òîãî æå âèäà, ÷òî è ðàññìîòðåí-

íîå âûøå ìíîæåñòâî C, òîëüêî ìíîæåñòâà K òåïåðü íå êðóãè, à øàðû.

m

Àíàëîãè÷íî ïðè ëþáîì n ∈ N â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåí-

òàðíûõ ñîáûòèé ìîæíî ðàññìîòðåòü Ω = [0, 1]n, ãäå

[0, 1]n = {(x , x , ..., x ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, ..., 0 ≤ x ≤ 1}.

1

2

n

1

2

n

Òàêîå ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ n-ìåðíûì åäèíè÷íûì êóáîì. Äàí-

íîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω äîñòàòî÷íî äëÿ òåõ ñòàòè-

ñòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ â ýòîé êíèãå.  êà-

÷åñòâå ñîáûòèé ìîãóò áûòü âçÿòû, â ÷àñòíîñòè, n-ìåðíûå ïàðàëëåëå-

ïèïåäû ñî ñòîðîíàìè ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò, A = {(x , x , ..., x ) : a ≤ x ≤ b , a ≤ x ≤ b , a ≤ x ≤ b }.

1

2

n

1

1

1

2

2

2

n

n

n

Çà âåðîÿòíîñòü P(A) òàêîãî ñîáûòèÿ ïðèíèìàåòñÿ n-ìåðíûé îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà

n

P ( )

A =

( b

∏ − a ).