RIO - Text.p65

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé k

l

=

x P ( A )

∑

×

y P ( B ).

∑

i

i

j

j

i 1

=

j 1

=

Ìû âîñïîëüçîâàëèñü íåçàâèñèìîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y, èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òîÐ(À ∩ Â) = Ð(À)P(Â).

i

j

i

j



Ò å î ð å ì à 1.3. Äèñïåðñèÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí ðàâíà ñóììå äèñïåðñèé

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì

µ = E(X), µ = E(Y).

X

Y

(µ — ãðå÷åñêàÿ áóêâà “ìþ”). Ïîëüçóÿñü òåìè æå îáîçíà÷åíèÿìè, ÷òî è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.2, èìååì

k

l

D ( X + Y ) = ∑∑( x + y − µ − µ

P A ∩ B

=

i

j

X

Y )2

( i j )

i 1

= j 1

=

k

l

= ∑∑( x −µ ) P ( A ∩ B ) k l

+

y

∑∑ −µ P A ∩ B +

i

X

i

j

( j Y )2

2

( i j )

i 1

= j 1

=

i 1

= j 1

=

k

l

+ 2∑∑( x −µ y −µ P A ∩ B

i

X )(

j

Y )

( i j ).

i 1

= j 1

=

Ïîñêîëüêó ïåðâàÿ ñóììà â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ðàâíà k

∑( x −µ P A = D X

i

X )2

( i )

( )

i 1

=

è âòîðàÿ ñóììà ðàâíà

l

∑( y −µ P B = D Y

j

Y )2

( j ) ( ),

j 1

=

ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî çàïèñàòü òàê:

D(X + Y ) = D(X ) + D(Y ) + 2Cov(X, Y ).

31

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Çàìåòèì, ÷òî äî ñèõ ïîð ìû íå ïîëüçîâàëèñü íåçàâèñèìîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y. Ñ ó÷åòîì íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí Õ è Y

k

l

Cov( X , Y ) =

( x

∑ −µ ) P ( A )× ( y

∑ −µ ) P ( B ) =

i

X

i

j

Y

j

i 1

=

j 1

=

k

l



 



=

x P ( A )

∑

− µ

y P ( B )



 ∑

− µ  = 0.

i

i

X

j

j

Y

 i 1=

 j 1

 =





Ò å î ð å ì à 1.4. Êîâàðèàöèÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí ðàâíà 0.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ýòîé òåîðåìû ñîäåðæèòñÿ â äîêàçàòåëüñòâå

òåîðåìû 1.3.

Èç òåîðåìû 1.4 ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y

íåçàâèñèìû è σ > 0, σ > 0, òî

X

Y

Ñîr(X, Y ) = 0.

Ò å î ð å ì à 1.5. Äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y òàêèõ, ÷òî σ > 0, σ > 0

X

Y

–1 ≤ Cor(X, Y ) ≤ 1.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.3 áûëî óñ-

òàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X* è Y*

D(X* + Y*) = D(X*) + D(Y*) + 2Cov(X*, Y*).

Ïîëîæèì

X − E ( X )

Y − E ( Y )

X * =

, Y * =

.

σ

σ

X

Y

Òîãäà ñ ó÷åòîì òåîðåì 1.1 è 1.3 E(X*) = 0, E(Y*) = 0, D(X*) = 1, D(Y*) = 1 è Cov(X*, Y*) = Cor(X, Y ).

Èç óñëîâèÿ (ïîñêîëüêó äèñïåðñèÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåî-

òðèöàòåëüíà)

D(X* + Y*) ≥ 0

32

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷àåì

2 + 2Cor(X, Y ) ≥ 0,

èëè

Cor(X, Y ) ≥ –1.

Àíàëîãè÷íî èç óñëîâèÿ

D(X* – Y*) ≥ 0

ïîëó÷àåì

Cor(X, Y ) ≥ 1.



Ò å î ð å ì à 1.6. Äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y òàêèõ, ÷òî σ > 0, σ > 0, ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû: X

Y

1) äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë à u b, à ≠ 0

X = aY + b;

2) Ñîr (X, Y) ðàâíà 1 èëè –1.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü Õ* è Y* îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.5. Òîãäà, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (1), X − E ( X )

aY + b − aE ( Y ) − b a Y − E ( Y )

a

X * =

=

=

= Y *,

σ

a σ

a

σ

a

X

Y

Y

ò.å.

X* = Y* ïðè a > 0

è

X* = –Y* ïðè a < 0.

Ïîýòîìó ïðè à > 0

0 = D(X* – Y*) = D(X*) + D(Y*) – 2Cov(X*, Y*) = 2(1 – Cor(X, Y )), îòêóäà

Cor(X, Y ) = 1.

Àíàëîãè÷íî ïðè à < 0

Cor(X, Y ) = –1.

Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî èç óñëîâèÿ (1) ñëåäóåò óñëîâèå

(2). Äîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèÿ (2) ñëåäóåò óñëîâèå (1). Èç ïðèâåäåííûõ âûêëàäîê ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèå

33

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Cor(X, Y ) = 1

âëå÷åò óñëîâèå

D(X* – Y*) = 0,

à óñëîâèå

Cor(X, Y ) = –1

âëå÷åò óñëîâèå

D(X* + Y*) = 0.

Èç ðàâåíñòâà íóëþ äèñïåðñèè ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà —

ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ (íàïîìíèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé êî-

íå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω). Ïîýòîìó â ïåðâîì ñëó÷àå

X* – Y* = c,

à âî âòîðîì ñëó÷àå

X* + Y* = c,

ãäå ñ — íåêîòîðîå ÷èñëî. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ïåðâîãî ñëó÷àÿ

σ

 σ



X

X

X =