RIO - Text.p65

i

i

i 1

=

Íî òàêèìè ïàðàëëåëåïèïåäàìè, êàê ýòî âèäíî èç äâóìåðíîãî è òðåõìåðíîãî ñëó÷àåâ, íå èñ÷åðïûâàåòñÿ íàáîð âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíî-

æåñòâà Ω = [0, 1]n, êîòîðûå âîçìîæíî îòíåñòè ê ñîáûòèÿì.

40

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé

×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ

X : [0, 1]n → R

íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ R ìíîæåñòâî A ⊂ [0, 1]n, ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ω ∈ [0, 1]n, äëÿ êîòîðûõ X(ω) ≤ x,

ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ íà [0, 1]n ôóíêöèÿ X ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. (Çäåñü íåîáõîäèìî, ÷òîáû

÷èòàòåëü âåðíóëñÿ ê ñëó÷àþ n = 1, íàðèñîâàë ãðàôèê íåêîòîðîé ôóíê-

öèè X è ïîñìîòðåë, êàêèìè ïðè ðàçëè÷íûõ x ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿ

A = {ω ∈ [0, 1] : X(ω) ≤ x}.

 äàëüíåéøåì òàêèå ñîáûòèÿ ÷àñòî áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ñîêðàùåííî X ≤ x).Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X : [0, 1] → R

îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îïðåäåëÿëîñü, êàê èíòåã-

ðàë îò ýòîé ôóíêöèè ïî îòðåçêó [0, 1]. Àíàëîãè÷íî ïðè n = 2 îæèäàå-

ìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ äâîéíîé èíòåãðàë îò ôóíêöèè X(ω) ïî åäèíè÷íîìó êâàäðàòó [0, 1]2, ïðè n = 3 — òðîé-

íîé èíòåãðàë ïî åäèíè÷íîìó êóáó [0, 1]3. Ïðè ïðîèçâîëüíîì n îæèäà-

åìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ n-êðàòíûé èíòåã-

ðàë îò ôóíêöèè X(ω) ïî n-ìåðíîìó åäèíè÷íîìó êóáó [0, 1]n.

Íî åñëè äëÿ êîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω

ëþáàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X : Ω → R

èìååò îæèäàåìîå çíà÷åíèå, òî äëÿ áåñêîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåí-

òàðíûõ ñîáûòèé Ω ñóùåñòâóþò ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ó êîòîðûõ íåò îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ.

Åñëè âñå îæèäàåìûå çíà÷åíèÿ ñóùåñòâóþò, òî òåîðåìû 1.1—1.6

îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â ñëó÷àå, êîãäà ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàð-

íûõ ñîáûòèé Ω áåñêîíå÷íî. Îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è ôîðìóëû Å(ñÕ) = ñÅ(Õ), Å(Õ + ñ) = Å(Õ) + ñ,

à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû äëÿ äèñïåðñèé è ñòàíäàðòíûõ îò-

êëîíåíèé, ïðèâåäåííûå â íà÷àëå ïàðàãðàôà.

41

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà 1.4

Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

è ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

Ïóñòü Ω — ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà

X : Ω → R

è õ ∈ R. ×åðåç À îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ω ∈ Ω òàêèõ, ÷òî X(ω) ≤ x.

Ïîëîæèì

F(x) = P(A).

Ôóíêöèÿ

F : R → [0, 1]

íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X.

Ç à ì å ÷ à í è å. Ïðàâèëüíåå (íî áîëåå ãðîìîçäêî) áûëî áû îáî-

çíà÷èòü ýòó ôóíêöèþ íå F(x), à F (x), ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü åå ñâÿçü ñî X

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X.

ßñíî, ÷òî F — íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè õ < õ , 1

2

òî äëÿ ìíîæåñòâ

À = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x }

1

1

è

À = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x }

2

2

èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå À ⊂ À . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Ð(À ) ≤ Ð(À ) 1

2

1

2

è, çíà÷èò,

F(x ) ≤ F(x ).

1

2

Ïîñìîòðèì, êàê óñòðîåíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëåíà íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω, Ω = {ω , ω , ..., ω },

1

2

N

è âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ðàâíû

p , p , ..., p .

1

2

N

42

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ïóñòü X(ω ) = x , i = 1, 2, ..., N, ïðè÷åì

i

i

x < x < ... < x .

1

2

N

Òîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 1.16; çíà÷åíèå ôóíêöèè F ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õ , âîçðàñòàåò íà p .

i

i

Ðèñ. 1.16. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëåííîé íà êîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω

Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà Ω — êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, F ÿâëÿåòñÿ íåóáû-

âàþùåé ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåé. Ïîëåçíî ñðàâíèòü ðèñ. 1.16 ñ ðèñ. 1.12.

Íà ðèñ. 1.12 îñü õ ðàñïîëîæåíà âåðòèêàëüíî, à íà ðèñ. 1.16 — ãîðè-

çîíòàëüíî. Ïî âåðòèêàëüíîé îñè íà ðèñ. 1.16 îòêëàäûâàåòñÿ ñóììà äëèí îòðåçêîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 1.12, íà êîòîðûõ X(ω) ≤ õ.

Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî åñëè äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïðåäåëåí-

íûå íà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ Ω, èìåþò îäèíàêîâûå ôóíêöèè ðàñïðå-

äåëåíèÿ, òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñîâïàäàþò. Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîäåð-

æèò âñþ èíôîðìàöèþ î çíà÷åíèÿõ, ïðèíèìàåìûõ ñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íîé, è î âåðîÿòíîñòÿõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáûòèé.

Åñëè ìíîæåñòâî Ω áåñêîíå÷íî, òî ôóíêöèÿ F(x) ìîæåò áûòü êàê íåïðåðûâíîé (è äàæå äèôôåðåíöèðóåìîé), òàê è ðàçðûâíîé.  ëþ-

áîì ñëó÷àå îíà îñòàåòñÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé (ñì. ðèñ.1.17).

43

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ðèñ. 1.17. Äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé áåñêîíå÷íî) Ïðèìåð 1.8. Òðè ñòóäåíòà, Àíòîí, Áîðèñ è Âàëåðèé, ïî-ðàçíîìó èñïîëüçî-