RIO - Text.p65

X, åñëè â òî÷êå x ôóíêöèÿ f (õ) èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì.

0

Íà ðèñ. 1.19 ïîêàçàíû ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íû, êâàíòèëü ïîðÿäêà ð è ìîäà. Çäåñü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò îäíó ìîäó; â ïðèíöèïå ìîä ìîæåò áûòü è áîëüøå. Îäíàêî ÷àùå èñïîëüçó-

þòñÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ îäíîé ìîäîé.

Ðèñ. 1.19. Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: x — ìîäà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû;

0

x — êâàíòèëü ïîðÿäêà ð;

p

ð — ïëîùàäü ôèãóðû, ëåæàùåé ñëåâà îò ïðÿìîé x = x ;p (1 – p) — ïëîùàäü ôèãóðû, ëåæàùåé ñïðàâà îò ïðÿìîé x = xp 1.5

Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè.

Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà Áàéåñà

Ïóñòü ñîáûòèÿ À è Í ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ïðè÷åì Ð(Í) > 0.

Îïðåäåëåíèå. ×èñëî

51

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà P(A ∩ H)

P(A H ) = P(H)

íàçûâàåòñÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè Í (ïðè ãèïîòåçå Í).

Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî îïðåäåëåíèå äëÿ òðåõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.

1) Åñëè À ∩ Í = ∅ (ðèñ. 1.20), òî

Ð(À | H) = 0.

Ðèñ. 1.20. Íåñîâìåñòèìûå ñîáûòèÿ À è Í

2) Åñëè H ⊂ A (ñì. ðèñ. 1.21), òî

À ∩ Í = Í

è

Ð(À | H) = 1.

Ñëó÷àè (1) è (2) ÿâëÿþòñÿ êðàéíèìè.  ñëó÷àå (1), åñëè ïðî-

èçîøëî ñîáûòèå Í, òî ñîáûòèå À ïðîèçîéòè íå ìîæåò íèêàê, è âåðî-

ÿòíîñòü A ïðè óñëîâèè H ðàâíà 0.  ñëó÷àå (2), åñëè ïðîèçîøëî ñîáû-

òèå Í, òî çàâåäîìî ïðîèçîøëî è À, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü À ïðè óñëî-

âèè Í ðàâíà 1. Âîîáùå æå

0 ≤ Ð(À | H) ≤ 1,

ïîñêîëüêó À ∩ Í ⊂ H. Óïîòðåáëÿÿ ñëîâîñî÷åòàíèå “ïðîèçîøëî ñîáû-

òèå”, ìû ãîâîðèì íà ïîâñåäíåâíîì ÿçûêå, ïîìîãàþùåì ïîíÿòü, îòêó-

52

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äà âçÿëîñü îïðåäåëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè, à íå íà ÿçûêå ñòðîãîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè.

Ðèñ. 1.21. Ñîáûòèå À ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñîáûòèÿ Í

3) Åñëè ñîáûòèÿ À è Í íåçàâèñèìû, òî

P(À ∩ Í) = Ð(À) × Ð(H)

è

Ð(À | H) = Ð(À).

Ïðèìåð 1.9. Îäèíàêîâû ëè îòâåòû íà ñëåäóþùèå âîïðîñû.

1. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ?

2. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ, ïðè óñëî-

âèè, ÷òî îí ïðîäàåòñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé?

Ïî-âèäèìîìó, âî âòîðîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü âûøå.  äàííîì ñëó÷àå ñî-

áûòèå À ñîñòîèò â òîì, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ, à ñîáûòèå Í ñîñòî-

èò â òîì, ÷òî òîâàð ïðîäàåòñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé (ñì. ðèñ. 1.22).

 ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.22, ñîáûòèå À ∩ Í (òîâàð ïðîäàåò-

ñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé è áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ) ïî÷òè ÷òî ñîâïàäàåò ñ ñîáûòèåì Í, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü

P(A∩ H )

P(A H ) = P(H)

áëèçêà ê 1.  òî æå âðåìÿ âåðîÿòíîñòü Ð(À) çíà÷èòåëüíî ìåíüøå 1.

53

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ðèñ. 1.22. Ñîáûòèÿ À è Í, îáëàäàþùèå òåì ñâîéñòâîì,

÷òî âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè Í áëèçêà ê 1

Ïóñòü ñîáûòèÿ H , H , ..., H ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è 1

2

k

k

H = Ω

7 i

i 1

=

(ñì. ðèñ. 1.23, ãäå k = 4). Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ A ⊂ Ω ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

k

A = (A ∩ H

7

i ).

i 1

=

Ïîñêîëüêó ñîáûòèÿ À ∩ Í ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ïî òåîðåìå

i

î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé

k

P( )

A = ∑ P(A∩ Hi).

i 1

=

Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî

Ð(À ∩ Í ) = Ð(À | Í ) Ð(Í ),

i

i

i

ïîëó÷àåì

k

P( )

A = ∑P(A Hi)P(Hi).

i 1

=

Äàííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.

Ýòà ôîðìóëà îêàçûâàåòñÿ î÷åíü ïîëåçíîé â ðÿäå ñëó÷àåâ.

54

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðèñ. 1.23. Ðàçáèâêà ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω íà ïîïàðíî íåñîâìåñòèìûå ñîáûòèÿ H , H , H , H

1

2

3

4

Ïðèìåð 1.10. Ïðè áðîñàíèè ìîíåòû ñ âåðîÿòíîñòüþ ð âûïàäàåò ãåðá è ñ âåðîÿòíîñòüþ q = 1 – ð âûïàäàåò ðåøåòêà. Èãðîê, èìåþùèé ò ðóá., ïðè êàæäîì áðîñêå ëèáî âûèãðûâàåò 1 ðóá., åñëè âûïàäàåò ãåðá, ëèáî ïðîèãðû-

âàåò 1 ðóá., åñëè âûïàäàåò ðåøåòêà. Öåëü èãðîêà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû óâåëè-

÷èòü ñâîé êàïèòàë äî Ì ðóá. Èãðà ïðåêðàùàåòñÿ ëèáî êîãäà êàïèòàë èãðîêà ñî-

ñòàâèò Ì ðóá. (èãðîê âûèãðàë), ëèáî êîãäà êàïèòàë èãðîêà ñîñòàâèò 0 ðóá. (èã-

ðîê ïðîèãðàë). Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî èãðîê ïðîèãðàåò?

Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

π (k) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èìåÿ k ðóá., èãðîê ïðîèãðàåò (ãðå÷åñêàÿ

áóêâà “ïè”);

Í — ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðè ïåðâîì áðîñêå âûïàë ãåðá; 1

Í — ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðè ïåðâîì áðîñêå âûïàëà ðåøåòêà; 2

À — ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî èãðîê ïðîèãðàë.

Òîãäà

Ð(À | Í ) = π (ò + 1), Ð(À | Í ) = π (m – 1) 1

2

è ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè

π (m) = π (m + 1) p + π (m – 1)q.

Çàìåòèì, ÷òî

π (0) = 1, π (M) = 0.

55