RIO - Text.p65

Ç à ì å ÷ à í è å. ×òîáû áûòü ñòðîãèìè, â ôîðìóëèðîâêàõ òåîðåì 1.7 è 1.8 ñëåäîâàëî ïîòðåáîâàòü ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåã-

ðàëîâ. Åñëè èíòåãðàë, ó÷àñòâóþùèé â îïðåäåëåíèè îæèäàåìîãî çíà-

÷åíèÿ èëè äèñïåðñèè ðàñõîäèòñÿ, òî íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå ôóíêöèè ïëîòíîñòè, êîíå÷íîãî îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ èëè êîíå÷íîé äèñïåðñèè ó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåò. Ìû íå ñòàëè óïîìèíàòü îá ýòîì òðåáîâà-

íèè ðàíüøå, ÷òîáû íå óòÿæåëÿòü ôîðìóëèðîâêè òåîðåì. Â äàëüíåé-

øåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, èíòåãðàëû áóäåì ñ÷èòàòü ñõî-

äÿùèìèñÿ.

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà

∞

f ( x ) dx ,

∫−∞

âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà

∞

x f ( x ) dx .

∫−∞

Ïóñòü, íàïðèìåð,

 0 ïðè x <1

f (x) 

=  1 ïðè x≥



1.

2

 x

Òîãäà

∞

∞ 1

f ( x ) dx =

dx = 1,

∫

∫ 2 x

−∞

1

íî

∞

∞ 1

x f ( x ) dx =

dx = .

∞

∫

∫ x

−∞

1

48

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð ôóíêöèè ïëîòíîñòè âàæåí äëÿ íàñ åùå

â îäíîì îòíîøåíèè. Ôóíêöèÿ

x

F ( x ) =

f ( y ) dy

∫−∞

íå äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x = 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôîðìàëüíî ìû íå èìåëè äàæå ïðàâà íàçûâàòü f ôóíêöèåé ïëîòíîñòè. Íî ýòî âîçðà-

æåíèå ëåãêî îáõîäèòñÿ, åñëè â îïðåäåëåíèè ôóíêöèè ïëîòíîñòè ïî-

òðåáîâàòü, ÷òîáû f áûëà íå íåïðåðûâíà, à êóñî÷íî-íåïðåðûâíà, à ðà-

âåíñòâî

F (

′ x ) = f ( x )

áûëî ñïðàâåäëèâî äëÿ òåõ òî÷åê x ∈ R, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ f íåïðå-

ðûâíà.

Ïðè òàêîì îáîáùåíèè ïîíÿòèÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîõðàíÿþò-

ñÿ âñå åå ñâîéñòâà (ðàçóìååòñÿ, çà èñêëþ÷åíèåì íåïðåðûâíîñòè) è âñå

ïðèâåäåííûå âûøå ñîîòíîøåíèÿ.  ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ýòî áîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè ïëîòíîñòè áåç ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê.

Ç à ì å ÷ à í è å. Íà èíòóèòèâíîì óðîâíå ïîíÿòü òåîðåìó 1.7 äîñ-

òàòî÷íî ëåãêî. Âûáåðåì ÷èñëà a è a òàê, ÷òî 0

k

∞

ak

x f ( x ) dx ≈

x f ( x ) d .

x

∫

∫

−∞

a 0

 äàííîì ñëó÷àå ñèìâîë “≈” íå èìååò ñòðîãîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ñìûñëà è îçíà÷àåò ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî. Ðàçîáüåì îòðåçîê [a , a ]

0

k

íà k ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè a , ..., a ;

1

k–1

a < a < a < ... < a < a .

0

1

2

k –1

k

×åðåç A îáîçíà÷èì ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå èç òåõ ω ∈ Ω, äëÿ êîòîðûõ i

a ≤ X(ω) < a ;

i–1

i

i = 1, 2, ..., k. Òîãäà

49

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà i

a

P ( A ) =

f ( x ) d .

x

∫

i

i

a −1

Ïîëîæèì

+

i

a 1

i

a

=

i

x

−

.

2

Òîãäà

ak

i

a

i

a

k

k

k

x f ( x ) dx =

x f ( x ) dx

∫

∑

≈ x

f ( x ) dx

∫

∑

=

x P ( A ),

∫

∑

i

i

i

i 1

=

i 1

=

i 1

a

=

0

ai −1

ai −1

÷òî àíàëîãè÷íî âûðàæåíèþ äëÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âå-

ëè÷èíû X, îïðåäåëåííîé íà êîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñî-

áûòèé Ω.

Èç òåîðåì 1.7 è 1.8 ñëåäóåò, ÷òî åñëè äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èìåþò îäèíàêîâûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, òî îíè èìåþò îäèíàêîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è îäèíàêîâûå äèñïåðñèè. Âûøå

ìû óñòàíîâèëè òàêîé æå ðåçóëüòàò äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ. Ýòîò ðåçóëüòàò îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ìîãóò èìåòü îäèíàêîâûå îæèäàåìûå çíà÷åíèÿ è îäèíàêîâûå äèñïåð-

ñèè, íî ñîâåðøåííî ðàçíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.

Èíîãäà âìåñòî ñëî⠓ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò çàäàííóþ ôóíê-

öèþ ðàñïðåäåëåíèÿ” ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìå-

åò çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå èëè çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé.

Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè f (õ).

Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü 0 < ð < 1. Òî÷êà x íàçûâàåòñÿ êâàíòèëüþ p

ïîðÿäêà ð ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, åñëè

x p

f ( y ) dy = .

p

∫−∞

Ïîíÿòèå êâàíòèëè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áóäåò øèðîêî èñïîëüçî-

âàòüñÿ â äàëüíåéøåì ïðè ïðîâåðêå ðàçëè÷íûõ ãèïîòåç. Êâàíòèëü ïî-

ðÿäêà 0,5 íàçûâàåòñÿ ìåäèàíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ.

50

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà x íàçûâàåòñÿ ìîäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 0