RIO - Text.p65

Ω =

A .

7 i

i 1

=

Èç îïðåäåëåíèÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå-

òðóäíî óâèäåòü, ÷òî

58

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé k

E ( X ) =

x P ( A ).

∑ i i

i 1

=

Ïóñòü H ⊂ Ω è P(H) > 0.

Îïðåäåëåíèå. Óñëîâíûì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðè çàäàííîì H íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî

k

E(X H ) = ∑ ixP( iA H).

i 1

=

Ïðèìåð 1.12. Äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ìîæåò áûòü ëèáî –5%, ëèáî 20%. Äîõîäíîñòü âòîðîãî àêòèâà ìîæåò áûòü ëèáî 0%, ëèáî 10%. Ñîâìåñò-

íîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé äîõîäíîñòåé äâóõ àêòèâîâ ïðèâåäåíî â ñëåäóþùåé òàáëèöå.

–5%

20%

0%

0,1

0,3

10%

0,4

0,2

Êàêîâà îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ïðè óñëîâèè, ÷òî äîõîä-

íîñòü âòîðîãî àêòèâà ðàâíà 0%?

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ.

À — äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ðàâíà –5%;

1

À — äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ðàâíà 20%;

2

H — äîõîäíîñòü âòîðîãî àêòèâà ðàâíà 0%.

Òîãäà, ïîñêîëüêó P(H) = P(A ∩ H) + P(A ∩ H) = 0,1 + 0,3 = 0,4, èìååì 1

2

P( ∩

1

A

H ) 0,1

P(

=

=

=

1

A H )

0,25,

P(H )

0,4

P(

∩

2

A

H ) 0,3

P(

=

=

=

2

A H )

0,75

P(H )

0,4

è

E(X | H) = –5 × 0,25 + 20 × 0,75 = 13,75%.

 òî æå âðåìÿ

E(X) = –5 × 0,5 + 20 × 0,5 = 7,5%.

59

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà 1.6

Çàäà÷à êàâàëåðà äå Ìåðå

Ýòà çàäà÷à çàñëóæèâàåò ïîäðîáíîãî èçëîæåíèÿ ïî äâóì ïðè÷èíàì.

Âî-ïåðâûõ, îíà âîøëà â èñòîðèþ ìàòåìàòèêè, êàê îäíà èç ïåðâûõ çàäà÷

òåîðèè âåðîÿòíîñòåé1. Âî-âòîðûõ, îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð ïðè-

ìåíåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñîâñåì íåî÷åâèäíîé ïðè-

êëàäíîé çàäà÷è, õîòÿ è îòíîñÿùåéñÿ ê îáëàñòè àçàðòíûõ èãð.

Êàâàëåð äå Ìåðå íå áûë ìàòåìàòèêîì. Îí áûë çàÿäëûì èãðîêîì.

Åãî ëþáèìàÿ èãðà (íàçîâåì åå èãðîé ¹ 1) ñîñòîÿëà â ñëåäóþùåì.

Êàâàëåð äå Ìåðå è åãî ïàðòíåð áðîñàþò êîñòü 4 ðàçà. Åñëè õîòÿ áû îäèí ðàç âûïàäàåò øåñòåðêà, âûèãðûâàåò êàâàëåð äå Ìåðå. Åñëè íåò — åãî ïàðòíåð. Êàâàëåð äå Ìåðå íå ìîã îáúÿñíèòü â ÷åì äåëî, íî çíàë, ÷òî ýòà èãðà (õîòÿ è íå î÷åíü çàìåòíî) èäåò íà ïîëüçó åãî êîøåëüêó. Îäíà-

êî ñî âðåìåíåì è äðóãèå èãðîêè çàìåòèëè, ÷òî ýòà èãðà èäåò íà ïîëüçó êîøåëüêó êàâàëåðà äå Ìåðå áîëüøå, ÷åì èõ ñîáñòâåííûì, ïîýòîìó íàõîäèëîñü âñå ìåíüøå æåëàþùèõ èãðàòü ñ íèì.

Òîãäà êàâàëåð äå Ìåðå ïðèäóìàë èãðó ¹ 2. Äâå êîñòè áðîñàþòñÿ

24 ðàçà, è åñëè õîòü ðàç âûïàäàþò äâå øåñòåðêè — ïîáåæäàåò êàâàëåð äå Ìåðå, åñëè íåò — åãî ïàðòíåð. Óâåëè÷èâ ÷èñëî áðîñêîâ â øåñòü ðàç, êàâàëåð äå Ìåðå ñ÷èòàë, ÷òî îí ïðîñòî èãðàåò â èãðó ¹ 1 øåñòü ðàç ïîäðÿä. Îäíàêî ñèòóàöèÿ ñ êîøåëüêàìè èçìåíèëàñü íà ïðîòèâî-

ïîëîæíóþ.

Ðàññòðîåííûé êàâàëåð äå Ìåðå îáðàòèëñÿ ê ìàòåìàòèêó Ïàñêà-

ëþ çà ðàçúÿñíåíèÿìè. Ïàñêàëü ðåøèë ýòó çàäà÷ó è îáúÿñíèë, ïî÷åìó âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà â ïåðâîé èãðå áîëüøå 1/2, à âåðîÿòíîñòü âû-

èãðûøà âî âòîðîé èãðå ìåíüøå 1/2, îáåññìåðòèâ òåì ñàìûì èìÿ äå

Ìåðå è ñäåëàâ âàæíûé øàã â ðàçâèòèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.

Èãðà ¹ 1. Ìíîæåñòâî Ω ñîñòîèò èç 64 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé: (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), ...., (1, 1, 1, 6), 1 Ñì.: Íèêèôîðîâñêèé Â.À, Ôðåéìàí Ë.Ñ. Ðîæäåíèå íîâîé ìàòåìàòèêè. Ì.: Íàóêà, 1976. Ñ. 116—117.

60

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (1, 1, 2, 1), ..., (6, 6, 6, 5), (6, 6, 6, 6), ãäå äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ðå-

çóëüòàò ïåðâîãî áðîñêà, íà âòîðîì — âòîðîãî, íà òðåòüåì — òðåòüåãî, íà ÷åòâåðòîì — ÷åòâåðòîãî. Ïðè ýòîì ñîáûòèå À (êàâàëåð äå Ìåðå

ïðîèãðàë) ñîäåðæèò 54 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, òàê êàê íåáëàãîïðèÿò-

íûõ èñõîäîâ ïðè êàæäîì áðîñêå ìîæåò áûòü ïÿòü. Ïîýòîìó 4

5

625

1

P( )

A =

=

≈ 0,491< .

4

6

1296

2

Èãðà ¹ 2. Èñõîäÿ èç òåõ æå ñîîáðàæåíèé, ÷òî è â èãðå ¹ 1, â ýòîì ñëó÷àå

24

35

P( )

A 



=   .

 36 

×òîáû ñðàâíèòü ýòî ÷èñëî ñ 1/2, ñëåäóåò ïåðåéòè ê ëîãàðèôìàì. Îò-

âåò ñëåäóåò èç öåïî÷êè íåðàâåíñòâ

24

 36 

36

ln

= 24ln

< 0,68 <





ln 2,

 35 

35

ïîýòîìó

24

 36  <





2

 35 

è

1

P( )

A > .

2

à èìåííî Ð(À) ≈ 0,509.

Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ ïðè÷èíà íåóäà÷ êàâàëåðà äå Ìåðå.

61

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Øâåäîâ, À. Ñ.

Ø 34

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà [Òåêñò] : ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âóçîâ / À. Ñ. Øâåäîâ; Ãîñ. óí-ò — Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè. — 2-å èçä., ïåðåðàá. è äîï. — Ì.: Èçä. äîì ÃÓ ÂØÝ, 2005. — 254, [I, II] ñ. — (Ó÷åáíèêè Âûñøåé øêîëû ýêîíîìèêè). —

Ëèòåðàò.: ñ. 247—249. — Ïðåäì. óêàç.: ñ. 250—253. — 3000 ýêç. —

ISBN 5-7598-0214-3 (â ïåð.).

Êíèãà ÿâëÿåòñÿ ó÷åáíûì ïîñîáèåì ïî êóðñó “Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ