RIO - Text.p65

âàëè 5-ìèíóòíûé ïåðåðûâ ìåæäó çàíÿòèÿìè. Àíòîí ïîçâîíèë ïî òåëåôîíó. Áîðèñ ïîäîøåë ê ïðåïîäàâàòåëþ è ïîïðîñèë åùå ðàç îáúÿñíèòü íåïîíÿòûé èì ìàòåðè-

àë. Âàëåðèé ðåøèë ïîïèòü ÷àþ â áóôåòå. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èñïîëüçó-

åòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Àíòîíà ïî òåëåôîíó, ñëó-

÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y — äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Áîðèñà ñ ïðåïîäàâàòåëåì, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Z — äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âðåìåíè, êîòî-

ðîå Âàëåðèé ïðîâåë â áóôåòå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X, Y è Z

ïðèíèìàþò ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ îò 0 ìèíóò äî 5 ìèíóò.

Ìîæíî ïðèíÿòü, íàïðèìåð, ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòåé îò-

äåëüíûõ ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X, Y è Z. Äëÿ ñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû X

P(X ≤ 0) = 0; P(X ≤ 1) = 0,2; P(X ≤ 2) = 0,4; P(X ≤ 3) = 0,6; P(X ≤ 4) = 0,8; P(X ≤ 5) = 1.

Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y

P(Y ≤ 0) = 0; P(Y ≤ 1) = 0,5; P(Y ≤ 2) = 0,8; P(Y ≤ 3) = 0,9; P(Y ≤ 4) = 0,95; P(Y ≤ 5) = 1.

Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z

P(Z ≤ 0) = 0; P(Z ≤ 1) = 0; P(Z ≤ 2) = 0,1; P(Z ≤ 3) = 0,2; P(Z ≤ 4) = 0,5; P(Z ≤ 5) = 1.

44

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ãðàôèêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y è Z òîãäà ìî-

ãóò èìåòü âèä, ïðèâåäåííûé íà ðèñ.1.18.

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîäåðæèò â ñåáå çíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü èíôîð-

ìàöèè î ïîâåäåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Íî, çíàÿ îòäåëüíî ôóíêöèè ðàñïðå-

äåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y, íåëüçÿ îòâåòèòü, íàïðèìåð, íà âîïðîñ, áó-

äóò ëè ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìûìè.

Åñëè ôóíêöèÿ F â êàæäîé òî÷êå x ∈ R èìååò ïðîèçâîäíóþ F′(x) = f (x),

ãäå f — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Ïðè ëþáîì õ ∈ R

f (x) ≥ 0,

ïîñêîëüêó F (x) ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé. Ïî ôîðìóëå Íüþ-

òîíà — Ëåéáíèöà ïîëó÷àåì

b

F(b) − F(a) = f (x)dx

∫a

— âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À, ñîñòîÿùåãî èç òåõ ýëåìåíòîâ ω ∈ Ω, äëÿ

êîòîðûõ

à ≤ Õ(ω) ≤ b.

Èç ñîîòíîøåíèé

lim F ( x ) = 0,

lim F ( x ) = 1

x →− ∞

x →∞

ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè f (õ)

∞

f ( x ) dx = 1

∫−∞

è

x

F ( x ) =

f ( y ) dy .

∫−∞

Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè, òî, êîíå÷íî, ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëåíà íà áåñêîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëåííîé íà êîíå÷-

íîì ìíîæåñòâå Ω, êàê ìû óñòàíîâèëè âûøå, ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿí-

íîé è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé íà âñåé ïðÿìîé.

45

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà à) Ãðàôèê ôóíêöèè FX

á) Ãðàôèê ôóíêöèè FY

â) Ãðàôèê ôóíêöèè FZ

Ðèñ. 1.18. Ãðàôèêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y è Z

46

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ò å î ð å ì à 1.7. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîò-

íîñòè f, òî îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ âûðàæàåòñÿ

ñëåäóþùåé ôîðìóëîé

∞

E ( X ) =

u f ( u ) d .

u

∫−∞

 êîíöå ïàðàãðàôà 1.3 ìû îïðåäåëèëè îæèäàåìîå çíà÷åíèå äëÿ

êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

X : [0, 1] → R,

êàê

1

E ( X ) = X ( )

ω d .

ω

∫0

Êàê óæå ãîâîðèëîñü â ïàðàãðàôå 1.3, îïðåäåëåíèå îæèäàåìîãî çíà÷å-

íèÿ äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáùåãî âèäà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì äàí-

íîãî îïðåäåëåíèÿ.

Òåîðåìó 1.7 ìû ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà: ýòî îäèí èç òðóäíûõ ðåçóëüòàòîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Â äàëüíåéøåì, îïåðèðóÿ îæèäàå-

ìûìè çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ëèáî âûðàæåíèåì äëÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ èç òåîðåìû 1.7 (åñëè ñëó÷àé-

íàÿ âåëè÷èíà èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè), ëèáî íåïîñðåäñòâåííî îï-

ðåäåëåíèåì îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ (åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäå-

ëåíà íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω). Äðóãèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìû ðàñ-

ñìàòðèâàòü íå áóäåì (çà èñêëþ÷åíèåì ãëàâû 8, ãäå ðàññìàòðèâàåòñÿ

ñëó÷àé, êîãäà Ω = N, íî ýòîò ñëó÷àé, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, àíàëîãè-

÷åí ñëó÷àþ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ Ω).

Ò å î ð å ì à 1.8. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîò-

íîñòè f, òî äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:

∞

D X = ∫ ( u − E X )2

(

)

(

)

f ( u ) d .

u

−∞

Òåîðåìà 1.8 (êîòîðóþ ìû òàêæå íå áóäåì äîêàçûâàòü) è òåîðåìà 1.7 ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îäíîé òåîðåìû îá îæèäàåìîì çíà÷å-

47

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà íèè ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (íàïîìíèì, ÷òî D(X) = Å((Õ –

– Å(Õ))2)). Ìû îãðàíè÷èëèñü èçëîæåíèåì ýòèõ äâóõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, ïîñêîëüêó îáùèé ðåçóëüòàò â äàëüíåéøåì â ýòîé êíèãå íå ïîíàäîáèòñÿ.