RIO - Text.p65

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà 1

Åñëè ìîíåòà äîáðîêà÷åñòâåííàÿ, ò.å. p = q = , òî çàäà÷à äîïóñêàåò 2

òî÷íîå ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå π — ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò ò, òàê êàê òî÷êà (ò, π (ò)) ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà ñ êîíöàìè â òî÷êàõ (ò — 1, π (ò — 1)) è (ò + 1, π (m + 1)). Äåéñòâèòåëüíî,

1

1

m = (m −1) + (m +1)

2

2

è

1

1

π( m ) = π( m −1) + π( m +1) .

2

2

Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ ôóíêöèè π íà êîíöàõ îòðåçêà [0, Ì] èçâåñòíû, íàõîäèì m

π( m ) = 1−

.

M

Âåðîÿòíîñòü ïðîèãðûøà íàéäåíà. Åñòåñòâåííî, ÷òî îíà òåì áîëüøå, ÷åì ìåíüøå îòíîøåíèå ò ê Ì. Êàê ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà íàéäåííàÿ âåðîÿò-

íîñòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàèáîëåå âûãîäíîãî ðóáåæà M? Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âå-

ëè÷èíà Õ îçíà÷àåò âûèãðûø èãðîêà. Òîãäà íà ïîäìíîæåñòâå À ñëó÷àéíàÿ âå-

ëè÷èíà X ïðèíèìàåò çíà÷åíèå (–ò), à íà îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà ýëå-

ìåíòàðíûõ ñîáûòèé — çíà÷åíèå (Ì – ò). Îæèäàåìîå çíà÷åíèå âûèãðûøà ( ) (

) 1 m 

= −

−

+ ( − ) m

E X

m

M m

=





0.



M 

M

Òî åñòü ïðè äîáðîêà÷åñòâåííîé ìîíåòå âûáîð ðóáåæà Ì íå âëèÿåò íà îæèäà-

åìîå çíà÷åíèå âûèãðûøà.

Ïóñòü òåïåðü ð íå îáÿçàòåëüíî ðàâíî q. Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé

 (

π m −1) q − (

π m ) + (

π m +1) p = 0, 0 < m < M

 (0

π ) =1, (

π M ) = 0

ìîæåò áûòü ðåøåíà ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà.

 ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðèâåäåíû ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïðîèãðûøà π (m) ïðè M = 10, ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíîìó êàïèòàëó â ò ðóá-

ëåé (0 ≤ ò ≤ 10) è âåðîÿòíîñòÿì âûïàäåíèÿ ãåðáà ð, ðàâíûì 0,6; 0,55; 0,52; 0,5; 0,48; 0,45; 0,4. Âñå âåðîÿòíîñòè ïðèâåäåíû ñ òî÷íîñòüþ äî äâóõ äåñÿ-

òè÷íûõ çíàêîâ.

56

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé m 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

p

0,60 1,00 0,66 0,43 0,28 0,18 0,12 0,07 0,04 0,02 0,01 0,00

0,55 1,00 0,79 0,62 0,48 0,36 0,27 0,19 0,13 0,08 0,03 0,00

0,52 1,00 0,86 0,73 0,61 0,50 0,40 0,31 0,22 0,14 0,07 0,00

0,50 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00

0,48 1,00 0,93 0,86 0,78 0,69 0,60 0,50 0,39 0,27 0,14 0,00

0,45 1,00 0,97 0,92 0,87 0,81 0,73 0,64 0,52 0,38 0,21 0,00

0,40 1,00 0,99 0,98 0,96 0,93 0,88 0,82 0,72 0,57 0,34 0,00

Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ð = 0,5 ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ñîâïàäàþò ñ ðåçóëüòà-

òàìè, ïîëó÷åííûìè èç òî÷íîé ôîðìóëû

m

π( m ) = 1−

.

M

Èíòåðåñíî, ÷òî óìåíüøåíèå âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ ãåðáà âñåãî ñ ð =

= 0,52 äî ð = 0,48 óâåëè÷èâàåò âåðîÿòíîñòü ïðîèãðûøà ïðè m = 9 ïðèìåðíî â äâà ðàçà, à óìåíüøåíèå âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ ãåðáà ñ ð = 0,6 äî ð = 0,4 —

ïðèìåðíî â òðèäöàòü ðàç. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè ð = 0,6 è ð = 0,55 âåðîÿò-

íîñòü ïðîèãðûøà ìåíüøå 0,5 äàæå ïðè ò = 2 è ò = 3 ñîîòâåòñòâåííî.

Çàêîí÷èâ ñ ïðèìåðîì 1.10, ñíîâà âåðíåìñÿ ê ôîðìóëàì P(A ∩ Hi )

P(A H =

i )

,

P(Hi)

ãäå ñîáûòèÿ H , H , ..., Í ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è ïðè îáúåäèíå-

1

2

k

íèè äàþò âñå ìíîæåñòâî Ω. Çàìåòèì, ÷òî åñëè Ð(À) > 0, òî P(A ∩ Hi )

P(H

=

i

)

A

.

P( )

A

Òàê êàê P(À ∩ Í ) = Ð(À | Í )P(H ), ïîëó÷àåì i

i

i

P(A Hi )P(Hi )

P(H

=

i

)

A

.

P( )

A

Âûðàæàÿ P(A) ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåì 57

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà P(A Hi )P(Hi )

P(H

=

i

)

A

.

k

∑P(A H j)P(H j)

j 1

=

Äàííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Áàéåñà.

Ïðèìåð 1.11.  íà÷àëå ãîäà àíàëèòèê ðåêîìåíäîâàë íåêîòîðûå àêöèè äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ. Ïî ðåçóëüòàòàì ãîäà îïðåäåëèëîñü, ÷òî äëÿ 40% îò îá-

ùåãî ÷èñëà àêöèé äîõîäíîñòü îêàçàëàñü âûøå, ÷åì ñðåäíÿÿ ïî ðûíêó, à äëÿ

60% îò îáùåãî ÷èñëà àêöèé äîõîäíîñòü îêàçàëàñü íèæå, ÷åì ñðåäíÿÿ ïî ðûíêó.

Óñëîâèìñÿ íàçûâàòü ïåðâûå àêöèè àêöèÿìè ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ, à âòî-

ðûå àêöèè — àêöèÿìè ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ. 20% èç ÷èñëà àêöèé ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ áûëè ðåêîìåíäîâàíû àíàëèòèêîì äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ è 5% èç

÷èñëà àêöèé ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ áûëè ðåêîìåíäîâàíû àíàëèòèêîì äëÿ ïðè-

îáðåòåíèÿ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî àêöèÿ, ðåêîìåíäîâàííàÿ àíàëèòèêîì äëÿ

ïðèîáðåòåíèÿ, îêàçàëàñü àêöèåé ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ?

Ïóñòü

À — ìíîæåñòâî àêöèé, ðåêîìåíäîâàííûõ àíàëèòèêîì äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ; H — ìíîæåñòâî àêöèé ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ;

1

H — ìíîæåñòâî àêöèé ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ.

2

Òîãäà

P(H ) = 0,4

P(H ) = 0,6,

1

2

P(A | H ) = 0,2

P(A | H ) = 0,05.

1

2

Ïîýòîìó

P ( A H ) P ( H ) 0, 2 × 0, 4

8

1

1

P ( H

)

A =

=

=

.

1

P ( A H ) P ( H ) + P ( A H ) P ( H ) 0, 2 × 0, 4 + 0,5 × 0, 6

11

1

1

2

2

Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà

X : Ω → R

ïðèíèìàåò k ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé x , x , ..., x . Îáîçíà÷èì ÷åðåç A 1

2

k

i

ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ðàâíà x ;i k