RIO - Text.p65

âèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà 21

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà X : Ω → R

ïðèíèìàåò k ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé x , x , ..., x è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà 1

2

k

Y : Ω → R

ïðèíèìàåò l ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé y , y , ..., y . Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî Ω

1

2

l

êîíå÷íî è ñîäåðæèò âñåãî N ýëåìåíòîâ, òî

k ≤ N, l ≤ N.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âå-

i

ëè÷èíà Õ ðàâíà x . Òàêèì îáðàçîì,

i

k

Ω =

A .

7 i

i 1

=

Îáîçíà÷èì ÷åðåç B ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âå-

j

ëè÷èíà Y ðàâíà y ,j

l

Ω =

B .

7 j

j 1

=

Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y íåçàâèñèìû, åñëè ïðè ëþáûõ i è j (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ l) íåçàâèñèìû ñîáûòèÿ A è B .

i

j

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé è íåçàâèñèìîñòü ñëó-

÷àéíûõ âåëè÷èí — ýòî ðàçíûå ïîíÿòèÿ. Èñïîëüçîâàíèå â èõ íàçâàíè-

ÿõ îäíîãî è òîãî æå ñëîâà íå ïîìîãàåò óñâîåíèþ ïðåäìåòà, íî ÿâëÿåò-

ñÿ îáùåïðèíÿòûì.

Ïîñêîëüêó î íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé ìîæíî ãîâîðèòü òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè îäíîãî è òîãî æå

ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, î íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî ãîâîðèòü òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿ-

ìè, îïðåäåëåííûìè íà îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω.

Ïðèìåð 1.5. Äîïóñòèì, ÷òî ìíîæåñòâî Ω ñîñòîèò èç kl òî÷åê, ëåæà-

ùèõ íà ïëîñêîñòè â ïðÿìîóãîëüíèêå 1 ≤ x ≤ k, 1 ≤ y ≤ l è èìåþùèõ öåëûå

êîîðäèíàòû (íà ðèñ. 1.9 èçîáðàæåíî ìíîæåñòâî Ω ïðè k = 7, l = 4). Áóäåì 22

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé 1

ñ÷èòàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êàæäîé òî÷êå, ðàâíà

. Îïðå-

kl

äåëèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X, êàê àáñöèññó òî÷êè, à ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Y —

êàê îðäèíàòó òî÷êè.

Ðèñ. 1.9. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ñîñòîÿùåå èç 28 òî÷åê Ðèñ. 1.10. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ðàçáèòîå

íà ïîäìíîæåñòâà, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ

23

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Íà ðèñ. 1.10 èçîáðàæåíà ðàçáèâêà ìíîæåñòâà Ω íà ïîäìíîæåñòâà A , íà i

êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X, à íà ðèñ. 1.11 èçîáðàæå-

íà ðàçáèâêà ìíîæåñòâà Ω, íà ïîäìíîæåñòâà Â , íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòî-

j

ÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y.

Ðèñ. 1.11. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ðàçáèòîå

íà ïîäìíîæåñòâà, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y

Òîãäà ïðè ëþáîì i

1

P(

=

i

A ) k

è ïðè ëþáîì j

1

P ( B ) = .

j

l

Íî ìíîæåñòâî A ∩ B ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè. Ïîýòîìó i

j

1

1

1

P ( A ∩ B ) =

= × = P ( A ) P ( B ).

i

j

i

j

kl

k

l

Òî åñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y íåçàâèñèìû.

Ðàçîáðàííûé ïðèìåð ìîæíî îáîáùèòü, çàäàâ ñëó÷àéíóþ âåëè-

÷èíó X êàê íåêîòîðóþ ôóíêöèþ îò àáñöèññû, à ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó 24

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Y — êàê íåêîòîðóþ ôóíêöèþ îò îðäèíàòû. Ïðè ýòîì ñëó÷àéíûå âå-

ëè÷èíû Õ è Y ïî-ïðåæíåìó áóäóò íåçàâèñèìûìè, òàê êàê ìíîæåñòâà A è  áóäóò ñòðîèòüñÿ àíàëîãè÷íî.

i

j×òîáû äàòü ïðèìåð íå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äîïóñ-

òèì, ÷òî â ïðèìåðå 1.5 Õ ïî-ïðåæíåìó ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî îò àáñöèññû òî÷êè, à Y ïðèíèìàåò âî âñåõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà Ω ðàçëè÷-

íûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà ïðè ëþáîì j ìíîæåñòâî B ñîñòîèò èç îäíîé òî÷-

j

êè. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, åñëè B — ýòî ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ëåâóþ 1

íèæíþþ òî÷êó íà ðèñ. 1.9, òî

A ∩ B = B

1

1

1

è

P(A ∩ B ) > P(A )P(B ).

1

1

1

1

Ïðèìåð 1.6. Äâå ñòóäåíòêè, Àíÿ è Áåòòè, õîòÿò âî âðåìÿ 10-ìèíóòíîãî ïåðåðûâà ìåæäó çàíÿòèÿìè ïîçâîíèòü ïî òåëåôîíó ñâîèì çíàêîìûì. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Àíè, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y — äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíî-

ñòè ðàçãîâîðà Áåòòè. È òà, è äðóãàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò öåëûå çíà÷å-

íèÿ îò 0 äî 10. Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìûìè?

Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà Àíÿ è Áåòòè ìîãóò èñïîëüçîâàòü òîëü-

êî îäèí òåëåôîí. Òîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìû-

ìè. Äåéñòâèòåëüíî,

P(X = 6) > 0, P(Y = 6) > 0,

íî

P((X = 6) ∩ (Y = 6)) = 0.

Ïîñëåäíÿÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0, ïîñêîëüêó âî âðåìÿ 10-ìèíóòíîãî ïåðåðû-

âà ñ îäíîãî è òîãî æå òåëåôîíà íå ìîãóò áûòü ñäåëàíû äâà çâîíêà ïðîäîëæè-

òåëüíîñòüþ 6 ìèíóò êàæäûé. À åñëè íàì óäàëîñü íàéòè õîòÿ áû îäíó ïàðó