RIO - Text.p65

ìåíò ìíîæåñòâà  îáîçíà÷àåòñÿ f (õ). Òàêèì îáðàçîì, f (x) ∈ Â.

Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî ïàð (õ, f (õ)), ãäå õ ∈ À, íàçûâàåòñÿ

ãðàôèêîì ôóíêöèè f.

Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà ÷åðåç f (õ) îáîçíà÷àåòñÿ ñàìà ôóíêöèÿ f, à íå ýëåìåíò ìíîæåñòâà çíà÷åíèé. Êàê ïðàâèëî, ýòî íå ïðèâîäèò ê íå-

äîðàçóìåíèÿì, íî, âñòðåòèâ òàêîå âûðàæåíèå, íåîáõîäèìî ïîíÿòü, ÷òî èìååòñÿ â âèäó.

Ïðèìåð 1.2. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

f : R → [–1, 1],

äåéñòâóþùóþ ïî ïðàâèëó f (x) = sin x. Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè (òî÷íåå, ÷àñòü ãðàôèêà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 1.7.

Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè — ýòî ìíîæåñòâî, à íå ôóíêöèÿ. Íå ñëåäóåò ïóòàòü ôóíêöèþ ñ åå ãðàôèêîì.

15

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ðèñ. 1.7. Ãðàôèê ôóíêöèè f(x) = sin x

Åñëè ôóíêöèÿ f : A → R è ôóíêöèÿ g : A → R, òî ìîæíî îïðåäå-

ëèòü ôóíêöèþ, ÿâëÿþùóþñÿ ñóììîé ýòèõ äâóõ ôóíêöèé è îáîçíà÷àå-

ìóþ ( f + g)

( f + g) : A → R,

êîòîðàÿ êàæäîìó õ ∈ À ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî f (x) + g(x). Àíà-

ëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü è ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé. Åñëè ñ ∈ R, òî ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ôóíêöèè cf è ( f + ñ). Ôóíêöèè, ïðèíèìàþ-

ùèå çíà÷åíèÿ â R, ìû áóäåì íàçûâàòü ÷èñëîâûìè ôóíêöèÿìè.

1.2

Ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé

è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Íåçàâèñèìîñòü

ñîáûòèé è ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

 ïðåäèñëîâèè ìû ãîâîðèëè, ÷òî òîëüêî â XX â. òåîðèÿ âåðîÿòíî-

ñòåé áûëà ïðåâðàùåíà â áåçóïðå÷íî ñòðîãóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ, è îêàçàëîñü, ÷òî âñå èñïîëüçóåìûå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîíÿòèÿ àíà-

ëîãè÷íû ïîíÿòèÿì èç äðóãèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Ê ýòîìó âðåìåíè â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñëîæèëàñü ñâîÿ òåðìèíîëîãèÿ, êîòîðàÿ îñòàëàñü îáùåïðèíÿòîé, õîòÿ ìîæíî áûëî áû çàìåíèòü ñóùåñòâóþùèå òåðìèíû èõ îáùåìàòåìàòè÷åñêèìè àíàëîãàìè. Íî â ýòîì ñëó÷àå ÿçûê òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñòàë áû ìåíåå ïîíÿòåí â ïðèëîæåíèÿõ. Ñîîòâåòñòâèå ìåæ-

äó îñíîâíûìè òåðìèíàìè ïðèâåäåíî â ñëåäóþùåé òàáëèöå.

16

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Îáùåìàòåìàòè÷åñêèé òåðìèí

Òåðìèí òåîðèè âåðîÿòíîñòåé

Ìíîæåñòâî

Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ

ñîáûòèé

Ýëåìåíò

Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå

Ïîäìíîæåñòâî

Ñîáûòèå

Äëèíà, ïëîùàäü, îáúåì

Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ

ïîäìíîæåñòâà

×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà

Ïðèâåäåííîå ñîîòâåòñòâèå íóæíî ïîíèìàòü ñëåäóþùèì îáðà-

çîì. Òåðìèíîì “ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé” ìû áóäåì îáî-

çíà÷àòü íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå. Ýëåìåíòû è ïîäìíîæåñòâà ýòîãî ìíîæåñòâà áóäåì íàçûâàòü ñîîòâåòñòâåííî ýëå-

ìåíòàðíûìè ñîáûòèÿìè è ñîáûòèÿìè.

Åñëè ïîäìíîæåñòâà ïëîñêîñòè èëè ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿþòñÿ ëè-

íèÿìè, ôèãóðàìè èëè òåëàìè, òî äëÿ íèõ îïðåäåëåíû äëèíû, ïëîùà-

äè èëè îáúåìû. Àíàëîãè÷íî êàæäîìó ñîáûòèþ (ò.å. ïîäìíîæåñòâó ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî, íàçûâàåìîå åãî âåðîÿòíîñòüþ. Ýòî ÷èñëî òàê æå, êàê äëèíà, ïëîùàäü èëè îáúåì ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì, è åñëè ðàçäåëèòü íåêîòîðîå

ñîáûòèå íà äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ñîáûòèÿ, òî âåðîÿòíîñòü èñõîäíî-

ãî ñîáûòèÿ áóäåò ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷åííûõ ÷àñòåé.

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà — ýòî ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ïðîñòðàí-

ñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå R.

Ç à ì å ÷ à í è å. Òî, ÷òî íàçâàíèå ñòîëü âàæíîãî îáúåêòà ñîñòîèò èç äâóõ ñëî⠓ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà”, à íå èç îäíîãî ñëîâà, î÷åíü íåõîðî-

øî. Íî íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ýòî íàçâàíèå ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì.

Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (ìíîæåñòâî) ïðèíÿòî îáî-

çíà÷àòü ãðå÷åñêîé áóêâîé Ω (îìåãà). Ñàìè ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ (ýëå-

ìåíòû ìíîæåñòâà) îáîçíà÷àþòñÿ òîæå áóêâàìè “îìåãà”, íî íå ïðî-

ïèñíûìè, à ñòðî÷íûìè:

ω , ω , ... .

1

2

17

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ñîáûòèÿ îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè À, Â, ... . Òî åñòü ω ∈ Ω, A ⊂ Ω.

Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ÷àùå âñåãî îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè X, Y, ... . Ïî-

ñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà — ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ

íà ìíîæåñòâå Ω, âåðíà çàïèñü

X : Ω → R.

Ìíîæåñòâî Ω ìîæåò áûòü êàê êîíå÷íûì (ò.å. ñîäåðæàòü êîíå÷-

íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ), òàê è áåñêîíå÷íûì. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìíîæå-

ñòâî Ω ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, ìû ïîñòðîèì òåîðèþ ñîâåðøåííî ñòðîãî; äëÿ ñëó÷àÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω íåîáõîäè-

ìî èñïîëüçîâàòü çíà÷èòåëüíî áîëåå ñëîæíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñò-

ðóêöèè, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ íåêîòîðûìè ïîÿñíåíèÿìè è íå áó-

äåì ïðèâîäèòü âñå íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ.

Èòàê, ïóñòü ìíîæåñòâî Ω êîíå÷íî è ñîäåðæèò N ýëåìåíòîâ: Ω = {ω , ω , ..., ω }.