RIO - Text.p65

1

2

N

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàíî N ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë p , p , ..., p ,

1

2

N

êàæäîå èç êîòîðûõ íå áîëüøå 1. Ïóñòü, êðîìå òîãî,

∑N ip =1.

i 1

=

( äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèìâîë Σ, êîòîðûé îáîçíà÷àåò ñóììó, â äàííîì ñëó÷àå, N ÷èñåë.) Èç ïåðå÷èñëåííûõ óñ-

ëîâèé ñëåäóåò, ÷òî åñëè N > 1, òî

0 < p < 1, i = 1, ..., N.

i

×èñëî p íàçîâåì âåðîÿòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ω . Åñëè i

i

ñîáûòèå A ⊂ Ω, òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À îïðåäåëèì, êàê P ( )

A =

p ,

∑ i

ω ∈

i

A

ãäå ñóììèðóþòñÿ âåðîÿòíîñòè òîëüêî òåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω ,i êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ïîäìíîæåñòâà À. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ

ÿñíî, ÷òî

P(Ω) = 1.

18

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ïóñòîìó ìíîæåñòâó ïðèïèñûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü 0: P(∅) = 0.

Äëÿ ëþáîãî äðóãîãî ñîáûòèÿ À

0 < Ð(À) < 1.

Ñëåäóåò ïðèçíàòü, ÷òî â ñëó÷àå êîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåí-

òàðíûõ ñîáûòèé Ω àíàëîãèÿ ìåæäó âåðîÿòíîñòÿìè ñîáûòèé è äëèíàìè, ïëîùàäÿìè, îáúåìàìè ïîäìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî äàëåêîé. Íî íàì íåîáõîäèìî áóäåò ðàññìàòðèâàòü è áåñêîíå÷íûå ïðîñòðàíñòâà ýëå-

ìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, è òîãäà äàííàÿ àíàëîãèÿ áóäåò î÷åíü ïîëåçíà.

Ïðèìåð 1.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû äâà ðàçà áðîñàëè ìîíåòó è êàæäûé ðàç ìîã âûïàñòü ëèáî ãåðá, ëèáî ðåøåòêà. Âîçìîæíû ñëåäóþùèå 4 èñõîäà: ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ, PP.

Êàæäûé èç èñõîäîâ íàçîâåì ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì: Ω = {ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ, ÐÐ}.

Åñëè ìîíåòà äîáðîêà÷åñòâåííàÿ, òî âåðîÿòíîñòè âñåõ èñõîäîâ ðàâíû: 1

p = p = p = p =

1

2

3

4

.

4

Ïóñòü ñîáûòèå À çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî õîòÿ áû îäèí ðàç âûïàë ãåðá, ò.å.

À = {ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ}.

Òîãäà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À

1

1

1

3

P ( )

A = ∑ p = + + = .

i

ω ∈

4

4

4

4

i

A

Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ ñëåäóåò,

÷òî åñëè A ∩ B = ∅, òî

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Òî æå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñîáûòèé. Åñëè ñîáûòèÿ A , A , ..., 1

2

A ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî

k

P(A ∪ A ∪ ∪ A =

1

2

...

) ∑k

k

P( iA ).

i 1

=

Äàííîå óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé.

19

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Îñíîâîïîëàãàþùóþ ðîëü â äàëüíåéøåì áóäåò èãðàòü ñëåäóþùåå

îïðåäåëåíèå.

Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿ À è Â íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Îòìåòèì, èç îïðåäåëåíèÿ íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé ñëåäóåò, ÷òî ñîáûòèå, ÿâëÿþùååñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì, è ëþáîå äðóãîå ñîáûòèå

íåçàâèñèìû. Äàííîå îïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü îáîáùåíî íà ëþáîå ÷èñëî ñîáûòèé.

Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿ A , A , ..., A íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, 1

2

k

åñëè

 k

 k

P∩ iA  = ∏ P( 1

A ).

i 1

=

i 1

=





Çäåñü ìû ââåëè ñðàçó äâà íîâûõ îáîçíà÷åíèÿ:

k

∩ — ïåðåñå÷åíèå k ìíîæåñòâ (ò.å. ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ i 1

=

è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êàæäîìó èç ïåðå÷èñ-

ëåííûõ ìíîæåñòâ);

k

∏ — ïðîèçâåäåíèå k ÷èñåë.

i 1

=

Ç à ì å ÷ à í è å 1. Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå äðóãîå îïðåäåëåíèå íåçàâè-

ñèìîñòè k ñîáûòèé, êîãäà òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïðè ëþáîì m < k ëþáûå m ñîáûòèé èç A , A , ..., A áûëè íåçàâèñèìûìè. Òî îïðåäåëåíèå íåçàâèñè-

1

2

k

ìîñòè k ñîáûòèé, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ íàìè, ÿâëÿåòñÿ áîëåå øèðîêèì.

Ç à ì å ÷ à í è å 2. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé äëÿ áåñêîíå÷íîãî ìíî-

æåñòâà Ω îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω.

Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð, èç ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñ-

òè íåñêîëüêèõ ñîáûòèé íå ñëåäóåò èõ íåçàâèñèìîñòü.

Ïðèìåð 1.4. Ïóñòü Ω ñîñòîèò èç 4 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé è âåðîÿò-

1

íîñòü êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà . Ïóñòü 4

20

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé A = {ω , ω }, A = {ω , ω }, A = {ω , ω }

1

1

2

2

1

3

3

1

4

Ðèñ. 1.8. Òðè ñîáûòèÿ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ íåçàâèñèìû, à âñå âìåñòå îíè íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè

(ñì. ðèñ. 1.8). Òîãäà

1

P(A = P A = P A =

1 )

( 2)

( 3) 2

è

1

P ( A ∩ A ) = P ( A ∩ A ) = P ( A ∩ A ) = P ({ω }) =

,

1

2

1

3

2

3

1

4

ò.å. ïîïàðíî ìåæäó ñîáîé ëþáûå äâà èç ýòèõ ñîáûòèé íåçàâèñèìû. Íî 1

1

P ( A ∩ A ∩ A ) = P ({ω }) =

≠ = P ( A ) P ( A ) P ( A ).

1

2

3

1

1

2

3

4

8

Òî åñòü ñîáûòèÿ A , A , A íå íåçàâèñèìû.

1

2

3

 äàëüíåéøåì íàì, â îñíîâíîì, áóäåò íóæíî íå ñàìî îïðåäåëå-

íèå íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé, à ïîñòðîåííîå íà íåì îïðåäåëåíèå íåçà-