RIO - Text.p65

çàòåëüñòâ. (Î òîì, ãäå ìîæíî íàéòè äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ òåîðåì, ñêà-

çàíî â áèáëèîãðàôè÷åñêîé ñïðàâêå.)

Ãëàâû 3 è 4 ïîñâÿùåíû îïðåäåëåíèþ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåí-

íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ðàçëè÷íûì ïðèëîæåíèÿì íîðìàëüíîãî ðàñ-

7

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ïðåäåëåíèÿ.  äàëüíåéøåì ââîäÿòñÿ äðóãèå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ

âåðîÿòíîñòåé è ñðàçó æå äàþòñÿ ïðèìåðû èõ ïðèìåíåíèÿ: χ2-ðàñïðå-

äåëåíèå (ãëàâà 5), t-ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà (ãëàâà 6), F-ðàñïðåäå-

ëåíèå Ôèøåðà (ãëàâà 7), ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà (ãëàâà 8). Âñå ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ãëàâû 9, 10 è 11 ïîñâÿùåíû äðóãîìó âàæíîìó ðàçäåëó ìàòåìàòè-

÷åñêîé ñòàòèñòèêè — ðåãðåññèè è êîððåëÿöèè. Äàííûé ìàòåìàòè÷åñ-

êèé àïïàðàò íåîáõîäèì äëÿ èññëåäîâàíèÿ âçàèìíîãî âëèÿíèÿ è âçà-

èìíîé çàâèñèìîñòè äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ è íàáîðîâ íàáëþäåíèé.

Èçëîæåíèå âåäåòñÿ ñîâñåì ïðîñòî â íà÷àëå êíèãè è ïîñòåïåííî óñëîæíÿåòñÿ â ïîñëåäóþùåì. Íà÷èíàÿ ñ ïàðàãðàôà 1.3 ïðåäïîëàãàåòñÿ,

÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ îñíîâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.  ãëàâå 10

èñïîëüçóþòñÿ îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè.

Èçìåíåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì èçäàíèåì íîñÿò, â îñíîâíîì, ðåäàêöèîííûé õàðàêòåð. Çàìåíåíû íåêîòîðûå ïðèìåðû. Íåñêîëüêî ðàñøèðåíû ïàðàãðàôû, ïîñâÿùåííûå óñëîâíûì âåðîÿòíîñòÿì, ïðî-

âåðêå ãèïîòåç è äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëàì.

 îñíîâó ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ïîëîæåíû ëåêöèè, êîòîðûå àâòîð

÷èòàë ñòóäåíòàì Ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà — Âûñøåé øêîëû ýêîíîìèêè â òå÷åíèå ðÿäà ëåò. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äàííàÿ êíèãà îñòàåòñÿ âñå æå ó÷åáíûì ïîñîáèåì, ðÿä âàæíûõ ðàçäåëîâ êóðñà â êíèãå íå ïðåäñòàâëåí. Àâòîð áëàãîäàðèò êîëëåêòèâ ÃÓ ÂØÝ çà ïîìîùü â îðãàíèçàöèè êóðñà è âñåõ êîëëåã, âûñêàçàâøèõ àâòîðó ñâîè êîíñòðóêòèâíûå è äîáðîæåëàòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Îòäåëüíî àâòîð âû-

ðàæàåò áëàãîäàðíîñòü Ý.Á. Åðøîâó çà áîëüøîå ÷èñëî ïîëåçíûõ çàìå-

÷àíèé, ñäåëàííûõ ïðè ïîäãîòîâêå åùå ïåðâîãî èçäàíèÿ êíèãè.

8

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé 1

ã ë à â à

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ÒÅÎÐÈÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ

È ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ

 ýòîé ãëàâå ââîäèòñÿ ïîñòîÿííî èñïîëüçóåìîå â äàëüíåéøåì ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îïðåäåëÿþòñÿ òàêæå äðóãèå ïîíÿòèÿ: ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü, óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, îæèäàåìîå çíà÷åíèå

(îæèäàíèå) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

1.1

Ìíîæåñòâà è ôóíêöèè

Ñòðîãîñòü â ìàòåìàòèêå ÿâëÿåòñÿ íåïðåìåííûì óñëîâèåì. Âñå

èñïîëüçóåìûå ïîíÿòèÿ îïðåäåëÿþòñÿ, âñå óòâåðæäåíèÿ, çà èñêëþ÷å-

íèåì àêñèîì, äîêàçûâàþòñÿ. Â êàæäîì îïðåäåëåíèè íîâûå ïîíÿòèÿ

îïèðàþòñÿ íà ïîíÿòèÿ, ââåäåííûå ðàíüøå. Íî åñëè òàê, òî êàê æå

áûòü ñ ñàìûìè ïåðâûìè îïðåäåëåíèÿìè? ×åðåç ÷òî îïðåäåëÿþòñÿ ââî-

äèìûå â íèõ ïîíÿòèÿ? Îòâåò íà ýòè âîïðîñû ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí.

 ìàòåìàòèêå åñòü íåîïðåäåëèìûå ïîíÿòèÿ. Òàêèìè ïîíÿòèÿìè ÿâëÿ-

þòñÿ ìíîæåñòâî è ôóíêöèÿ.

Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê îáñóæäåíèþ òîãî, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî è

÷òî òàêîå ôóíêöèÿ, ïîä÷åðêíåì, ÷òî ðîëü ýòèõ ïîíÿòèé íå îãðàíè÷è-

9

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà âàåòñÿ òåì, ÷òî ÷åðåç íèõ îïðåäåëÿþòñÿ âñå îñòàëüíûå ïîíÿòèÿ ìàòå-

ìàòèêè. Åùå áîëåå âàæíî òî, ÷òî ëþáàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðåìà —

ýòî åñòü íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå î ìíîæåñòâàõ è (èëè) ôóíêöèÿõ.

Ìíîæåñòâî — ýòî ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ, îáëàäàþùèõ íåêîòîðûì ñâîéñòâîì.

ßñíî, ÷òî ýòî íå îïðåäåëåíèå, à ïîÿñíåíèå. Ñëîâî “ñîâîêóï-

íîñòü” íè÷åì íå ëó÷øå ñëîâà “ìíîæåñòâî”. Ïðèìåðàìè ìíîæåñòâ ìî-

ãóò áûòü:

ìíîæåñòâî ëþäåé, æèâóùèõ â äîìå;

ìíîæåñòâî ÿáëîê, ëåæàùèõ â êîðçèíå;

ìíîæåñòâî òî÷åê íà ïëîñêîñòè.

Äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûå îáîçíà-

÷åíèÿ:N — ìíîæåñòâî öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ò.å. ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6 è ò.ä.;

R — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, â êîòîðîå âõîäÿò âñå ýëå-

ìåíòû ìíîæåñòâà N, à òàêæå îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, äðîáíûå ÷èñëà è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà, íàïðèìåð, òàêèå, êàê 2 , π è å.

Ââåäåì íåñêîëüêî ñèìâîëîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ìíîæåñòâàì, íåîá-

õîäèìûõ íàì äëÿ äàëüíåéøåãî.

x ∈ A

(ýëåìåíò õ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À).

Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî À ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Â, åñëè ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà À ÿâëÿåòñÿ Ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà Â.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî À — ïîäìíîæåñòâî Â.

À ⊂ Â

(ìíîæåñòâî À ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Â; ñì. ðèñ. 1.1).

 ÷àñòíîñòè, À ⊂ À. Ïîäìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîãî ýëå-