RIO - Text.p65

ìåíòà õ, îáîçíà÷àåòñÿ {õ}. Åñëè õ ∈ À, òî {x} ⊂ À. Ôèãóðíûå ñêîáêè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû íàãëÿäíî ïîêàçàòü, èç êàêèõ ýëåìåíòîâ ñîñòîèò ìíîæåñòâî. Íàïðèìåð,

N = {1, 2, 3, ...}.

10

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðèñ. 1.1. Ïîäìíîæåñòâî À ìíîæåñòâà Â

Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî Ñ íàçûâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ À è Â, åñëè ìíîæåñòâî Ñ ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòî-

ðûå ïðèíàäëåæàò è ìíîæåñòâó À, è ìíîæåñòâó Â.

Ñ = A ∩ Â

(Ñ — ïåðåñå÷åíèå À è Â; ñì. ðèñ. 1.2).

Ðèñ. 1.2. Ìíîæåñòâî Ñ — ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ À è Â

11

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî Ñ íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ À è Â, åñëè ìíîæåñòâî Ñ ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòî-

ðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ À èëè Â.

Ñ = A ∪ Â

(Ñ — îáúåäèíåíèå À è Â; ñì. ðèñ. 1.3).

Ðèñ. 1.3. Ìíîæåñòâî Ñ — îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ À è Â

Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè îíî ñîäåðæèò êîíå÷íîå

÷èñëî ýëåìåíòîâ, è áåñêîíå÷íûì â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå. Íàïðè-

ìåð, ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 0, íî ìåíüøèõ 10, êîíå÷íî (îíî ñîäåðæèò 9 ýëåìåíòîâ), à ìíîæåñòâà N è R áåñêîíå÷íû.

Ïðèìåð 1.1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç [0,1] ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë õ ∈ R, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

0 ≤ x ≤ 1.

Ìíîæåñòâî [0,1] áåñêîíå÷íî (õîòÿ è îãðàíè÷åíî).

Ïðè a ≤ b ìíîæåñòâî òî÷åê õ ∈ R òàêèõ, ÷òî

a ≤ x ≤ b,

íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì. Ïðè à < b ìíîæåñòâî òî÷åê õ ∈ R òàêèõ, ÷òî à < õ < b,

íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì.

12

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Äî ñèõ ïîð ìû ñ÷èòàëè, ÷òî ìíîæåñòâî — ýòî ñîâîêóïíîñòü íåêî-

òîðûõ ýëåìåíòîâ. Òåïåðü ïîíÿòèå ìíîæåñòâà íóæíî ðàñøèðèòü. Â êîð-

çèíå ñ ÿáëîêàìè ìîæåò ëåæàòü îäíî ÿáëîêî, äâà, òðè è ò.ä. Íî ìîæåò íå ëåæàòü íè îäíîãî. Òàê æå ìîæíî ðàññìîòðåòü ñîâîêóïíîñòü, â êî-

òîðîé íåò ýëåìåíòîâ. Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåí-

òà, íàçûâàåòñÿ ïóñòûì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì

∅.

Ïóñòîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì (íî íå ýëåìåíòîì!) ëþáîãî ìíîæåñòâà.

Ïîÿñíèì íà ïðèìåðå, ïî÷åìó ïîíÿòèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿ-

åòñÿ ïîëåçíûì è äàæå íåîáõîäèìûì. Ïóñòü ìíîæåñòâî À ñîñòîèò èç òðåõ ýëåìåíòîâ

a , a , a .

1

2

3

Òîãäà ó ìíîæåñòâà À åñòü âîñåìü ïîäìíîæåñòâ:

∅, {a }, {a }, {a }, {a , a }, {a , a }, {a , a }{a , a , a }.

1

2

3

1

2

1

3

2

3

1

2

3

( ÷èñëî ïîäìíîæåñòâ âêëþ÷àþòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî è ñàìî ìíî-

æåñòâî A.) Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ïîäìíîæåñòâ {a , a } è {a , a }: 1

2

1

3

{a , a } ∩ {a , a } = {a }.

1

2

1

3

1

À ÷òî òàêîå ïåðåñå÷åíèå, íàïðèìåð, {a , a } è {a }? Åñëè áû ìû 1

2

3

íå ââåëè ïîíÿòèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà, òî äîëæíû áûëè áû ïðèçíàòü,

÷òî â äàííîì ñëó÷àå îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ íå îïðåäåëåíà, ÷òî î÷åíü íåóäîáíî. Íî òåïåðü îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ íå âûçûâàåò çàò-

ðóäíåíèé:

{a , a } ∩ {a } = ∅.

1

2

3

Òåïåðü ìîæíî ïåðåéòè ê îáñóæäåíèþ òîãî, ÷òî òàêîå ôóíêöèÿ.

Ôóíêöèÿ — ýòî îòîáðàæåíèå, êîòîðîå êàæäîìó ýëåìåíòó îäíîãî ìíîæåñòâà ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé ýëåìåíò äðóãîãî ìíîæåñòâà.

ßñíî, ÷òî ýòî îïÿòü íå îïðåäåëåíèå, à ïîÿñíåíèå. Ñëîâî “îòî-

áðàæåíèå” íè÷åì íå ëó÷øå ñëîâà “ôóíêöèÿ”. Çàïèñü f : A → B

13

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó ìíî-

æåñòâà À íåêîòîðûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Â, è ÷èòàåòñÿ òàê: “ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå À è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå ”

èëè òàê: “f äåéñòâóåò èç À â ”. Íà ðèñ. 1.4 è 1.5 ïîêàçàíû äâå ôóíê-

öèè; ïðè ýòîì êàæäîå èç ìíîæåñòâ À è Â ñîñòîèò èç òðåõ ýëåìåíòîâ.

Ðèñ. 1.4. Ïðèìåð âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè Ôóíêöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1.4, íàçûâàåòñÿ âçàèìíî-îäíî-

çíà÷íîé: êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå

ñâîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Â, è êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Â ñîîòâåò-

ñòâóåò íåêîòîðîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À. Ôóíêöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1.5, âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé íå ÿâëÿåòñÿ.

Ðèñ. 1.5. Ïðèìåð íå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè 14

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðèñ. 1.6. Ïðèìåð îòîáðàæåíèÿ, íå ÿâëÿþùåãîñÿ ôóíêöèåé Îòîáðàæåíèå, ïîêàçàííîå íà ðèñ. 1.6, íå ÿâëÿåòñÿ; ôóíêöèåé ñðàçó ïî äâóì ïðè÷èíàì. Âî-ïåðâûõ, îäíîìó èç ýëåìåíòîâ ìíîæå-

ñòâà À ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå äâà ýëåìåíòà ìíîæåñòâà Â, è, âî-

âòîðûõ, äðóãîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À âîîáùå íè÷åãî íå ïîñòàâëå-

íî â ñîîòâåòñòâèå.

Åñëè ôóíêöèÿ f äåéñòâóåò èç À â Â, f : A → B, è ýëåìåíò õ ïðè-

íàäëåæèò ìíîæåñòâó À, õ ∈ À, òî ïîñòàâëåííûé â ñîîòâåòñòâèå õ ýëå-