RIO - Text.p65

∑ ω ). i

N i 1

=

Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íû íàçûâàþò åå ñðåäíèì çíà÷åíèåì, èëè îæèäàíèåì, èëè ìàòåìàòè-

÷åñêèì îæèäàíèåì.

Îïðåäåëåíèå. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ

îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

(X − E X )2

( ) ,

êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ D(X). Äðóãèìè ñëîâàìè,

N

D ( X ) = ∑( X (ω ) − E ( X ) p i

)2 . i

i 1

=

Äèñïåðñèÿ õàðàêòåðèçóåò ðàçáðîñ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ò.å. íà-

ñêîëüêî ñèëüíî â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà Ω ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îòëè÷àåòñÿ îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ. Òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àé-

íàÿ âåëè÷èíà ïîñòîÿííà, åå äèñïåðñèÿ ðàâíà íóëþ. Âî âñåõ äðóãèõ ñëó÷àÿõ (íàïîìíèì, ÷òî ðå÷ü èäåò î êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω) äèñïåð-

ñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëîæèòåëüíà. ×àñòî âìåñòî äèñïåðñèè óäîá-

íî ðàññìàòðèâàòü äðóãóþ ìåðó ðàçáðîñà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Îïðåäåëåíèå. Ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íû íàçûâàþò êâàäðàòíûé êîðåíü èç åå äèñïåðñèè: σ = D ( X )

X

(σ — ãðå÷åñêàÿ áóêâà ñèãìà).

28

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå 1.7 ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå èçìåðÿ-

åòñÿ â ìèíóòàõ, êàê è ñðåäíåå çíà÷åíèå, à äèñïåðñèÿ — â ìèíóòàõ â êâàäðàòå, ÷òî ìåíåå óäîáíî.

Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà — ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, òî, êàê ãîâîðèëîñü â ïàðàãðàôå 1.1, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñóììû è ïðîèçâå-

äåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óìíîæàòü èõ íà êîíñòàíòû è ïðèáàâëÿòü êîíñòàíòû (êîíñòàíòó òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé).

Íàïðèìåð, çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (X + Y) â òî÷êå ω îïðåäå-

i

ëÿåòñÿ êàê

X(ω ) + Y(ω ).

i

i

Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y îïðåäåëåíû íà îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω.

Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé âèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîé ñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû Õ è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà c ∈ R ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå

ðàâåíñòâà:

Å(ñÕ) = ñÅ(Õ),

Å(Õ + ñ) = Å(Õ) + ñ,

D(cX) = c2D(X),

D(X + c) = D(X),

σ = cσ ,

σ = σ .

cX

X

X + c

X

Îïðåäåëåíèå. Êîâàðèàöèåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y íàçûâàåò-

ñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî

Cov ( X , Y ) = E ((

(

X − E X ))( Y − E ( Y ))).

 ÷àñòíîñòè, Cov(X, X) =D(X).

To, ÷òî â ôîðìóëå äëÿ Cov (X, Y) òðèæäû èñïîëüçóåòñÿ ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Å, íå äîëæíî âûçûâàòü çàòðóäíåíèé.

( X − E ( X ))( Y − E ( Y )) åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëåííàÿ íà òîì æå ñàìîì ïðîñòðàí-

ñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ÷òî è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y.

Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí Õ è Y ïîëîæèòåëüíû, òî êîððåëÿöèåé Õ è Y íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå

÷èñëî:

29

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Cov( X , )

Y

Cor( X , )

Y =

.

σ σ

X

Y

Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà âåëè÷èíó Cor(X, Y) íàçûâàþò êîýôôèöè-

åíòîì êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y.

Ò å î ð å ì à 1.1. Îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñóììû, ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ñóììå îæèäàåìûõ çíà÷åíèé

Å(Õ + Y) = Å(Õ) + E(Y).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.

N

E ( X + Y ) = ∑( X (ω ) + Y (

p =

i

ù i )) i

i 1

=

N

N

=

X (

∑ ω ) p + Y (

∑ ω ) p = E ( X )+ E ( Y ).

i

i

i

i

i 1

=

i 1

=



Çäåñü è äàëåå ñèìâîëîì  ìû áóäåì îáîçíà÷àòü êîíåö äîêàçà-

òåëüñòâà.

Ò å î ð å ì à 1.2. Îæèäàåìîå çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ îæèäàåìûõ çíà÷åíèé E(XY) = E(X)E(Y).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü êàê è ïðè îïðåäåëåíèè äâóõ íåçàâè-

ñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå

õ íà ìíîæåñòâå A , çíà÷åíèå õ — íà ìíîæåñòâå À , ..., çíà÷åíèå x —

1

1

2

2

k

íà ìíîæåñòâå À ; ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ó íà k

1

ìíîæåñòâå  , çíà÷åíèå ó — íà ìíîæåñòâå B , ..., çíà÷åíèå ó — íà 1

2

2

l

ìíîæåñòâå Â . Òîãäà íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî

l

k

l

E ( X ) =

x P ( A ), E ( Y )

∑

= y P ( B ),

∑

i

i

j

j

i 1

=

j 1

=

è

k

l

k

l

E ( X Y ) =

x y P ( A

∑∑

∩ B ) =

x y P ( A ) P ( B )

∑∑

=

i

j

i

j

i

j

i

j

i 1

= j 1

=

i 1

= j 1

=

30