Florian Aigner - Die Schwerkraft ist kein Bauchgefühl

Es war eine Zeit hoffnungsvoller Aufbruchsstimmung und enthusiastischer Visionen: „Wir müssen wissen – wir werden wissen!“ war Hilberts Parole, die dann später sogar auf seinem Grabstein eingraviert werden sollte. Die Mathematik hatte begonnen, nicht nur Objekte wie Formeln oder Zahlen mit logischen Methoden zu untersuchen, sondern auch sich selbst. Mit den Methoden der Mathematik wollte man ergründen, was sich mit den Methoden der Mathematik alles ergründen lässt. Man begann dadurch viel klarer zu sehen, auf welche Weise wichtige mathematische Grundgedanken miteinander verwoben sind und was Beweisen eigentlich bedeutet. Es war das goldene Zeitalter der Logik.

Doch mitten in dieser Phase des Erfolgs, gerade als man dachte, dem großen Ziel Schritt für Schritt immer näher zu kommen, änderte sich plötzlich alles. Der Traum des berühmten David Hilbert zerplatzte im Jahr 1931. Überraschend, abrupt und unwiderruflich war das Hilbertprogramm gescheitert. Und schuld daran war ein merkwürdiger schrulliger junger Mann aus Wien mit dem Namen Kurt Gödel.

Kurt Gödel war vielleicht eines der größten Genies des zwanzigsten Jahrhunderts, aber ein einfaches Leben hatte er nicht. Er wurde 1906 in Brünn geboren. Schon als Kind plagten ihn Ängste, er bildete sich ein, einen Herzfehler zu haben, der medizinisch aber nie nachgewiesen wurde. In der Schule beschäftigte er sich früh mit komplizierten Themen, er las Goethe, Kant und Newton und grübelte über mathematische Literatur nach, die eigentlich für die Universität gedacht war. An der Universität Wien begann er dann theoretische Physik zu studieren, doch bald erkannte er, dass er sich in der Mathematik eher zu Hause fühlte.

In Wien wurde damals viel über Logik diskutiert: Viele große Naturwissenschaftler und Philosophen waren damals fasziniert davon, wie man mit mathematischer Präzision, mit einfachen Axiomen und klaren Regeln zu unbezweifelbaren Wahrheiten gelangen kann. Man diskutierte über Gottlob Frege, Bertrand Russell, David Hilbert und viele andere.

Es ist nicht überraschend, dass Kurt Gödel in diesem Umfeld beschloss, Hilberts Forderung nach einer vollständigen, widerspruchsfreien Mathematik zu untersuchen. Doch dabei stieß er auf ein Ergebnis, das für das Hilbertprogramm vernichtende Konsequenzen hatte: Gödel konnte beweisen, dass Hilberts großer Traum prinzipiell unmöglich war. Jedes mathematische System, das zumindest mächtig genug ist, um eine Theorie der natürlichen Zahlen zu liefern, erlaubt zwangsläufig Aussagen, die zwar wahr sind, sich aber aus den Axiomen niemals beweisen lassen. Eine Mathematik, in der sich vollständig alle wahren Aussagen Schritt für Schritt aus einer kleinen, überschaubaren Zahl wahrer Grundannahmen ableiten lassen, kann es niemals geben.

Das klingt zunächst so abstrakt, dass man sich darüber wundert, wie so etwas überhaupt bewiesen werden kann. Wir haben in der Schule gelernt, wie sich bestimmte mathematische Gesetze beweisen lassen – der Satz des Pythagoras etwa. Aber wie beweist man die Unvollständigkeit der mathematischen Beweisführung? Oder die Unbeweisbarkeit einer bestimmten Behauptung? Kurt Gödel gelang das mithilfe einer genialen Idee: Er fand einen Weg, wie man nicht nur mit Zahlen oder Variablen, sondern mit mathematischen Sätzen rechnen kann.

In der Logik hat man es oft mit Aussagen zu tun, die uns etwas über Zahlen verraten – zum Beispiel: „Für alle beliebigen natürlichen Zahlen x und y ist x plus y dasselbe wie y plus x.“ So ein Satz lässt sich in der formalen Sprache der Logik in einer einfachen Formel aufschreiben. Gödel erkannte, dass man solche Aussagen über Zahlen ihrerseits wieder in eine Zahl verwandeln kann. Man muss nur einen passenden Weg finden, den einzelnen Symbolen, die man in der Logik verwendet, Zahlen zuzuweisen und sie dann auf sinnvolle Weise zu einer großen Zahl zusammenzufügen.

Das ist nichts besonders Geheimnisvolles. Im digitalen Zeitalter sind wir es gewohnt, dass sich fast beliebige Inhalte als Zahl codieren lassen. Auch unsere Urlaubsfotos sind am Computer als lange Zahl abgespeichert, genau wie unsere Lieblingsmusik. Und auf ähnliche Weise lässt sich jeder mathematischen Aussage eine Zahl zuweisen – die sogenannte „Gödel-Zahl“.

Wenn man eine passende Codierung festgelegt hat, kann man also manche Zahlen als mathematischen Satz lesen. Bestimmte unvorstellbar große Zahlen sind sogar die Gödel-Zahl für einen langen mathematischen Beweis.

Wenn sich aber nun Zahlen und mathematische Sätze direkt ineinander übersetzen lassen, dann kann man in der Sprache der Mathematik über Mathematik reden. Man kann mathematische Sätze formulieren, die nicht nur Aussagen über Zahlen treffen, sondern auch Aussagen über mathematische Sätze – etwa: „n ist nicht die Gödel-Zahl eines Beweises des Satzes S.“ Und auch diese Aussage lässt sich ihrerseits wieder als Gödel-Zahl aufschreiben.

Wenn uns nun aber mathematische Sätze etwas über mathematische Sätze erzählen können, dann entsteht auch hier wieder die Gefahr innerer Widersprüche – so ähnlich wie bei Epimenides, dem Kreter, der behauptet, dass alle Kreter lügen. Kurt Gödel gelang es, eine Aussage zu konstruieren, die besagt: „Keine Zahl ist die Gödel-Zahl eines Beweises dieser Aussage.“ Die Aussage behauptet also von sich selbst: „Ich bin nicht beweisbar.“

Diese Aussage muss entweder wahr oder falsch sein. Wenn die Aussage „Ich bin nicht beweisbar“ falsch wäre, dann würde das bedeuten, dass sie doch beweisbar ist. Dann gäbe es aber einen korrekten Beweis für eine falsche Aussage – das ist ein innerer Widerspruch. Dann muss die Aussage aber wahr sein – und das bedeutet, dass es eine wahre Aussage gibt, die sich niemals beweisen lässt, egal, wie sehr man sich auch bemüht. Den Beweis kann es aus Gründen der Logik gar nicht geben.

Damit lautet Gödels berühmter erster Unvollständigkeitssatz (in einer etwas unmathematisch-umgangssprachlichen Formulierung): „Jedes logische System (das zumindest mächtig genug ist, eine Theorie der natürlichen Zahlen zu enthalten) ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.“ Gödel konnte daraus auch noch seinen zweiten Unvollständigkeitssatz ableiten: „Ein konsistentes System kann die eigene Konsistenz nicht beweisen.“

Kurt Gödel war noch keine fünfundzwanzig Jahre alt, als er mit seinen Ergebnissen die Welt der Mathematik erschütterte. Seine Unvollständigkeitssätze sorgten für Aufsehen, unter anderem in den USA, beim großen Mathematiker und Informatik-Pionier John von Neumann. Gödel reiste wiederholt ans Institute for Advanced Study in Princeton, er hielt Vorlesungen in Wien und in Göttingen.

Schon als Student hatte er seine große Liebe Adele Porkert kennengelernt, eine Wiener Nachtclubtänzerin, sechs Jahre älter als er – und bereits verheiratet. Sie ließ sich scheiden und heiratete Kurt Gödel schließlich im Jahr 1938. Trotz alledem hatte Gödel auch in dieser Zeit immer wieder mit schweren psychischen Problemen zu kämpfen.

Zusätzlich wurde die politische Lage in seiner Heimat immer schlimmer: Die Nationalsozialisten hatten die Macht ergriffen. Dumpfgeistige Politiker, die menschenverachtende Gesetze des Unrechts verabschiedeten, durften regieren, während geniale Wissenschaftler, die wunderbare Gesetze des Universums untersuchten, emigrieren mussten.

Gödel war gewiss kein besonders politischer Mensch, aber nachdem ihn herumpöbelnde Nazis auf der Straße attackiert hatten, wurde es ihm schließlich auch zu viel. Im Jahr 1940, als der Zweite Weltkrieg bereits durch Europa tobte, gelang Kurt Gödel und seiner Frau Adele noch die Flucht – mithilfe amerikanischer Freunde konnten sie über Sibirien in die USA einreisen, in Princeton fanden sie eine neue Heimat. Gödels Freund Oskar Morgenstern befragte ihn zu der Lage in Wien. „Der Kaffee ist erbärmlich“, antwortete Gödel – über Politik verlor er kein Wort. „Er ist sehr spassig, in seiner Mischung von Tiefe & Weltfremdheit“, vermerkte Morgenstern in seinem Tagebuch.