Varios autores - Manual de preparación PSU Matemática

3.Números reales ( )

4.Números complejos ( )

1. Números enteros ( )

1.1 El conjunto de los números enteros

Definición

El conjunto numérico de los números naturalesse define como = {1, 2, 3, 4, …}. Se denota por 0cuando se agrega el 0 al conjunto, esto es, .

Para representar algunas situaciones o problemas de la vida diaria, los números naturales noson suficientes. Por ejemplo:

• Representar un sobregiro de $ 200.000 en una cuenta corriente.

• Determinar la temperatura de una ciudad si en un instante es de 5 °C y una hora después baja 7 °C.

• Determinar un número que sumado con 4 resulte 1, o sea, resolver la ecuación x + 4 = 1.

Para representar estas situaciones o resolver este tipo de problemas es necesario conocer otro conjunto numérico llamado números enteros. El conjunto de los números enterosse simboliza por y se puede representar por:

+corresponde al conjunto de los números enteros positivos: += {1, 2, 3, 4, 5, ...}

–corresponde al conjunto de los números enteros negativos: –= {... , –4, –3, –2, –1}

Actividad resuelta

Escribe un número entero que represente la información numérica de cada situación.

a)En la Antártica se registró una temperatura de 20 °C bajo cero.

Las temperaturas bajo cero se pueden representar con números enteros negativos. Así, la temperatura descrita correspondería a –20, es decir, –20 °C.

b)Las ganancias de una empresa en un día fueron $ 700.000.

Las ganancias se pueden representar con números enteros positivos. Así, las ganancias de la empresa corresponderían al número 700.000.

Divisores y múltiplos, números pares e impares

Si a, b, c ∈ – {0} cumplen la relación c = a • b, entonces ay bson divisoresde c, y ces múltiplode ay de b.

El mínimo común múltiplo(m.c.m.) de un conjunto de números enteros es el menor entero positivo que es múltiplo de cada uno de los números dados.

El máximo común divisor(m.c.d.) de un conjunto de números enteros es el mayor entero positivo que divide a cada uno de los números del conjunto.

Un número entero es parsi es múltiplo de 2.

nes par ⇔ n = 2p, con p ∈ .

Un número entero es imparsi es antecesor o sucesor de un número par.

nes impar ⇔ n = 2p – 1 o n = 2p + 1, con p ∈ .

Actividades resueltas

1. ¿–20 es múltiplo de 10?Sí, porque –20 = (–2) • 10.

2. ¿2 es divisor de –20?Sí, porque –20 = 2 • (–10).

3. Determina el m.c.m. y el m.c.d. de los siguientes números enteros.

a)m.c.m.(–2, 6) = 6 m.c.d.(–2, 6) = 2

b)m.c.m.(–4, 4, 8) = 8 m.c.d.(–4, 4, 8) = 4

c)m.c.m.(–3, 5, 7) = 105 m.c.d.(–3, 5, 7) = 1

Actividades

1. Responde las siguientes preguntas.

a)¿En qué situaciones se pueden usar números enteros?

b)¿Cómo se distinguen los números enteros positivos de los números enteros negativos?

2. Escribe∈ o∉ según corresponda.

3. Determina cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas. Justifica tu respuesta.

a)La sustracción es una operación que siempre tiene solución en el conjunto de los números naturales.

b)Los números enteros están conformados por los números enteros positivos, el cero y los números enteros negativos.

c)Algunos números naturales no son números enteros.

d)Todos los números enteros son positivos o negativos.

4. Representa la información numérica de cada situación con un número entero.

a)El avión vuela a 2.700 m de altura.

b)Un submarino se encuentra a 2.500 m bajo el nivel del mar.

c)La rueda se inventó aproximadamente en el año 5500 a. C.

d)Daniela tiene una deuda de $ 2.300 en el almacén.

e)El fondo del mar Caribe alcanza aproximadamente los 3.000 m de profundidad.

f)Alejandro Magno nació en el año 356 a. C. en Macedonia.

g)El récord mundial de inmersión libre masculino (buceo sin equipo) es de 120 m de profundidad.