Bruno D´Amore - Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Esta posición “mixta” podría ser útil para responder a las objeciones hechas sobre el tema de las jerarquías, objeciones que afirman que la didáctica basada en jerarquías podría limitar a los estudiantes capaces. De hecho, es obvio que en cualquier grupo normal hay niños que yo defino como “de aprendizaje veloz” (mientras otros, por ejemplo, Terrassier, 1985, los llaman “superdotados”, lo cual, a veces, me parece excesivo). Estos estudiantes podrían muy bien saltarse diversos peldaños de la escalera, o toda la escalera de una vez, o unos aquí y allí, para alcanzar los peldaños superiores; esos alumnos son penalizados por la obligación de recorrer toda la escalera. Las inmersiones totales en problemas complejos podrían ser la ocasión para hacer que dichos estudiantes se sientan satisfechos y comprendidos (además del hecho que la didáctica jerárquica es, no digo totalmente pero sí bastante, personalizada, por lo que estos niños no se verían obligados a respetar los tiempos comunes).

Más allá de la confirmación de las bondades de la inmersión total, me gustaría recordar varias pruebas hechas a partir de los años 60, por Z. Dienes en 1963, por ejemplo. Con tales pruebas se comprobó que, en estos casos, al afrontar y resolver problemas complejos, los niños demostraron haberse apropiado de conceptos de nivel jerárquico inferior, sin haberlos practicado explícitamente con anterioridad. Es más, los mismos Dienes y Golden (1971) llegaron a la hipótesis didáctica conocida como enfoque profundo (deep end): es mejor ir directamente a cierto nivel de complejidad, antes que seguir toda la escala jerárquica. En últimas, si numeramos idealmente los peldaños del 1 al 10, por ejemplo, podemos:

• partir de 1 y luego, poco a poco, pasar al 2, luego al 3 etc., gradualmente pero siempre respetando los ritmos individuales; esto puede ser llamado “didáctica gradual absoluta”;

• partir de 6 y comprobando la adquisición desde el 1 hasta el 5, luego ir al 10 y comprobar desde el 7 hasta el 9; esto puede ser llamado “didáctica de la inmersión total”;

• partir del 1, ir al 2, saltar al 5, comprobar el 3 y el 4, ir al 6, saltar al 8, comprobar el 7, ir al 9 y luego al 10 (o un proceder análogo), respetando, en los pasajes graduales, los ritmos individuales; esto puede ser llamado “didáctica de profundidades mixtas”.

A mi modo de ver, la última elimina al menos algunos de los defectos de las otras dos posiciones extremas. Por ejemplo, las acusaciones que pesan sobre la didáctica de la inmersión total hechas por Resnick, Siegel y Kresh (1971) y por Caruso y Resnick (1972) luego de varios experimentos, podrían muy bien ser superadas por la didáctica mixta anteriormente propuesta. Entre otras, es de resaltar que una didáctica fuertemente estructurada beneficia a los estudiantes con capacidades menores, y que los estudiantes “fuertes” no tienen necesidad de tales estructuras (me refiero al ampliamente citado trabajo de Cronbach y Snow de 1977).

Lo que me asusta es que se llegue, dada la lucha que se presenta siempre entre los dos extremos, a concebir un “arte de la didáctica”: con todo el esfuerzo que ha costado llegar a la aceptación de la cientificidad de la didáctica de la Matemática por parte de unos matemáticos activos en esta, como disciplina autónoma, autosuficiente ¡La hipótesis que todo se reduzca a un arte es espantosa! Sin embargo, el peligro existe (ver Resnick y Ford, 1991, pp. 56-57).

Hay un amplio debate sobre el problema del significado que se puede atribuir a la idea de subdividir un problema complejo en una sucesión de ejercicios elementales.

Para resumir, no es que la subdivisión aumente el porcentaje positivo, sino que el meollo entorno al cual el problema está construido se pone en evidencia.

Veamos un ejemplo que tomo en su formulación original.

Sea A el siguiente texto:

Los 18 alumnos de noveno quieren hacer una excursión escolar de un día de duración de Bolonia a Verona. Para tal fin, deben tener en cuenta los siguientes datos:

1. dos de los alumnos no pueden pagar;

2. sería bueno “invitar” al profesor acompañante;

3. de Bolonia a Verona hay 120 km;

4. un autobús de 20 pasajeros cuesta 200.000 pesos diarios más 500 pesos por kilómetro (incluidos peajes).

¿Cuánto dinero gastaría cada alumno?

Aquí una subdivisión del problema en 3 componentes:

A1. Los 18 alumnos de noveno quieren hacer una excursión escolar de un día de duración de Bolonia a Verona. Ya que dos de los alumnos no pueden pagar y el profesor acompañante es invitado ¿entre cuántos se debe repartir el gasto?

A2. Los 18 alumnos de noveno quieren hacer una excursión escolar de un día de duración de Bolonia a Verona. El autobús de 20 pasajeros cuesta 200.000 pesos diarios más 500 pesos por kilómetro (incluidos peajes). De Bolonia a Verona hay 120 km. ¿Cuánto dinero gastará la clase?

A3. Como A.

La propuesta de A directamente o la sucesión A1, A2, A3 no produjo ninguna variación significativa en IV de primaria. Casi la totalidad de los niños a quienes se les propuso A cometieron el error de evaluar el gasto: 500×120+200000, sin calcular el gasto del regreso. Casi la totalidad de los niños a quienes se les propuso la sucesión Al, A2, A3, cometió el mismo error en la fase A2. De hecho, la gradualidad no aumentó en modo significativo la respuesta positiva. Entonces, se hizo la prueba fraccionando A2 en dos componentes, uno de los cuales preguntaba explícitamente cuántos km se recorrerían ese día. Tal forma explícita favoreció notablemente el porcentaje de respuestas positivas. El meollo conceptual se deshizo y, frente a la pregunta, explícita, muchos niños calcularon (120×2)×500. Por lo tanto, el fraccionamiento de un problema complejo produce una mejoría significativa en el porcentaje de solución solo cuando el meollo conceptual del problema es evidenciado de manera explícita; el fraccionamiento de por sí no produce mejoría de ningún tipo. Es preciso entonces reflexionar sobre la calidad de la elección de los componentes del problema y no solo, de manera acrítica, sobre el fraccionamiento en sí.

El problema anterior fue una oportunidad formidable para un estudio específico sobre el contrato didáctico; las fallas de cálculo de los gastos debidas al regreso, de hecho, fueron puestas en evidencia por parte de los estudiantes entrevistados por falta de una pregunta en ese sentido: «Si querías que calculáramos también el regreso, tenías que decirlo». En varios de mis trabajos sucesivos, he analizado detalladamente esta circunstancia desde el punto de vista de la teoría de las situaciones (por ejemplo, en D’Amore, 1999a, c).

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección he empleado sobre todo (AA. VV., 1991) [aquí sugiero sobre todo la lectura de los textos de P. Boero, E. Scali, A. Rondini y C. Rubini]; (Bourne, 1966; Boscolo, 1986; Bruner, Goodnow, Austin, 1956; Carroll, 1973; Caruso, Resnick, 1972; Cronbach, Snow, 1977; D’Amore, 1986-93, 1988a, 1988b, 1989, 1991b, 1992a, 1999a, 1999c; D’Amore, Fandiño Pinilla, Sbaragli, 2011; D’Amore, Sbaragli, 2011; Dienes, 1963; Dienes, Golding, 1971; Donaldson, Balfour, 1968; Flavell, 1972; Gagné, 1962; Gagné, Briggs, 1974; Gagné, Mayor, Garstens, Paradise, 1962; Gagné, Paradise, 1961; Gelman, Gallistel, 1978; Guttman, 1944; Handjaras et al., 1983; Palermo, 1974; Resnick, 1973; Resnick, Ford, 1991; Resnick, Siegel, Kresh, 1971).

4Por pura curiosidad histórica, se trata de una conjetura que el matemático alemán, que vivió en Rusia, Christian Goldbach, propuso a Leonhard Euler en 1742, ya que no lograba ni demostrarla ni refutarla; tampoco lo logró Euler; de hecho, ninguno lo ha logrado hasta ahora.

2. El papel fundamental de la motivación