J. Michael Fried - Mathematik für Ingenieure II für Dummies

6 Teil I: Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure Teil I Kapitel 1: Was bisher geschah Kapitel 1 Grundlagen aus der linearen Algebra Grundlagen aus der linearen Algebra Das Rechnen mit Vektoren und Matrizen spielt für die mehrdimensionale Analysis eine ähnliche Rolle wie die Grundrechenarten für die eindimensionale Analysis. Anstelle der reellen Zahlen aus treten hierbei Vektoren als Variablen und Funktionswerte auf, und bei der Klassifizierung von Extremstellen helfen Ihnen bestimmte Eigenschaften von Matrizen weiter. Die bei der Optimierung häufig auftretenden, oft sehr schwierig zu lösenden nichtlinearen Gleichungssysteme können Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens durch die Lösungen linearer Gleichungssystemen zumindest approximieren. Grund genug, diese Grundlagen hier kurz zu wiederholen. Eindimensionale Analysis Eindimensionale Analysis Die eindimensionale Analysis beschäftigt sich mit reellwertigen Funktionen einer reellen Variablen . Im Wesentlichen wird das Änderungsverhalten solcher Funktionen untersucht: Wie ändern sich die Funktionswerte , wenn das Argument geändert wird? Solche Untersuchungen werden in der Mathematik mit Hilfe geeigneter Folgen und ihrer Grenzwerte durchgeführt. Dies liefert Begriffe wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit und gibt Ihnen geeignete Methoden zur Extremstellensuche. Selbst der Integralbegriff und Näherungsmethoden wie die Taylorreihenentwicklung beruhen auf Grenzwerten. Folgen und ihr Verhalten bilden die Grundlage der ganzen Analysis und sind damit auch die Grundlage für die erfolgreiche mathematische Beschreibung der Welt. Dies ist auch in der mehrdimensionalen Analysis der Fall, die in den folgenden Kapiteln näher beschrieben wird. Grund genug, hier einen kurzen Überblick über Folgen und Grenzwerte zu geben. Kapitel 2: Grundlagen der Differentialrechnung im ℝ n Kapitel 2 Unsere Welt ist mehrdimensional Unsere Welt ist mehrdimensional Genau wie bei Funktionen von einer Variablen ist für Funktionen mehrerer Variablen das Änderungsverhalten sehr interessant. Wie im eindimensionalen Fall bilden auch hierbei Grenzwertuntersuchungen die mathematische Grundlage. Allerdings sind diese im Mehrdimensionalen mitunter ein wenig trickreicher: Es gibt schon im Zweidimensionalen unendlich viele Richtungen, aus denen Sie sich einem Punkt nähern können. Dadurch entstehen unter Umständen im Mehrdimensionalen Situationen, die im Eindimensionalen nicht vorkommen können. Außerdem ist es oft viel schwieriger, sich eine Situation im Mehrdimensionalen anschaulich vorzustellen. In diesem Abschnitt erkläre ich Ihnen, was Funktionen mehrerer Veränderlicher sind, in welchen Situationen eine graphische Darstellung möglich ist und wie die analytischen Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen einer Variablen auf Funktionen mehrerer Variablen übertragen werden. Ableiten bis zum Abwinken: Totale Differenzierbarkeit Ableiten bis zum Abwinken: Totale Differenzierbarkeit Unter den wichtigen und interessanten Eigenschaften einer Funktion stehen Stetigkeit und Differenzierbarkeit an erster Stelle. Beides sind sogenannte Änderungsmodi einer Funktion. Ist eine Funktion stetig, so wissen Sie, dass eine kleine Änderung im Argument nur eine (vergleichsweise) kleine Änderung im Funktionswert zur Folge haben kann. Stetige Funktionen können nicht springen. Ist die Funktion zusätzlich differenzierbar, dann können Sie die Änderungsrate an einer bestimmten Stelle auch quantitativ angeben und erhalten dadurch die Ableitung. Anders als bei reellwertigen Funktionen einer einzigen Variablen gibt es für Funktionen zwischen mehrdimensionalen Räumen verschiedene Ableitungsbegriffe: partielle Ableitung , totale Ableitung oder Richtungsableitung . Dieser Abschnitt beschreibt diese Begriffe und liefert damit eine Einführung in die mehrdimensionale Differentialrechnung. Zunächst erkläre ich Ihnen dabei den Begriff der partiellen Ableitung für reellwertige Funktionen. Und weiter so! Ableitungen höherer Ordnung Und weiter so! Ableitungen höherer Ordnung Bei den reellwertigen Funktionen einer einzigen Variablen kennen Sie wahrscheinlich nicht nur einfache, sondern auch mehrfache Ableitungen: Die Ableitung einer solchen Funktion ist ihrerseits wieder eine reellwertige Funktion von einer Variablen, die Sie selbstverständlich auch auf Differenzierbarkeit untersuchen können. Falls die Ableitung der Ableitungsfunktion existiert, erhalten Sie damit die zweite Ableitung von . So ähnlich können Sie auch höhere Ableitungen einer Funktion über die Ableitungen ihrer Ableitungen definieren. Kapitel 3: Darf's noch etwas mehr sein? Mehr Differentialrechnung Die Kettenregel, eine alte Bekannte Höhere Ableitungen, Differentialoperatoren und mathematische Schreibfaulheit Der Mittelwertsatz Kapitel 4: Erste Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung Die Taylorsche Formel Das Newton-Verfahren Von hinten durch die Brust ins Auge: Implizite Funktionen Kapitel 5: Optimierung Berggipfel und tiefste Schluchten: Extremstellen Ganz sicher: Hinreichende Optimalitätsbedingung Restringierte Optimierung

7 Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis Kapitel 6: Integralrechnung in zwei oder drei Dimensionen Bauklötzchen oder: Die zweidimensionale Integration Im Raum geht das auch: Dreidimensionale Integration Kapitel 7: Fäden durch den Raum: Kurvenintegrale Punkte und Kurven im dreidimensionalen Raum Orientierungslos im Raum: Kurvenintegrale über Skalarfelder Orientierte Kurvenintegrale Kapitel 8: Eine Dimension nach oben: Flächenintegrale Flächen im dreidimensionalen Raum Wie groß ist eine gebogene Fläche? Flächenintegrale mit und ohne Orientierung Kapitel 9: Die hohe Kunst der Vektoranalysis: Integralsätze Differentialoperatoren und Integralrechnung Der Gaußsche Integralsatz Die Sätze von Kelvin-Stokes und Green

8 Teil III: Gewöhnliche Differentialgleichungen Kapitel 10: Es ändert sich: Wie funktioniert's? Grundlegende Fragestellung bei Differentialgleichungen Was sind Differentialgleichungen? Langsam anfangen: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung Graphische Veranschaulichungen Kapitel 11: Kochrezepte: Explizite Lösungsmethoden für spezielle gewöhnliche Differentialgleichungen Die exakte Differentialgleichung Separable Differentialgleichungen Kapitel 12: Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung Funktionale Vektoren oder: Lineare Algebra im Funktionenraum Die homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung Die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung Kapitel 13: Spezielle lineare Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung Die Eulersche Differentialgleichung Kapitel 14: Systeme linearer Differentialgleichungen Allgemeine lineare Differentialgleichungssysteme Das alte Spiel: Lösungsmethode für lineare Differentialgleichungssysteme Spezieller: Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten

9 Teil IV: Funktionentheorie Kapitel 15: Überhaupt nicht hohl: Holomorphe Funktionen Funktionentheorie oder komplexe Analysis Kapitel 16: Komplexe Integration Vorsichtig anfangen: eindimensionale Integration im Komplexen Viel mehr zu komplexen Kurvenintegralen! Der Integralsatz von Cauchy Böse Stellen: Die Singularitäten Kurvenintegrale um Singularitäten Kapitel 17: Potenz- und Laurentreihen Mal wieder Potenzreihen – diesmal komplex! Trost bei Singularitäten: Laurentreihen Einige besondere Eigenschaften holomorpher Funktionen