Guillermo L. Dumrauf - Manual de matemáticas financieras

Como los intereses descontados siempre se calculan sobre el mismo valor nominal (o capital final), los descuentos periódicos practicados son siempre iguales (si es que no se modifica la tasa de descuento utilizada). Por lo tanto, los descuentos acumulados serían:

a. Descuentos acumulados

D(0,n) = D (0,1)+ D (1,2)+ D (2,3)+ ... + D (n−1,n)= C ndn

Por lo tanto, D (0,n)= Cn − V = Cn − (Cn − Cn × d × n) = Cn × d × n

D(0,n) = C n− V = C n− (C n− C ndn) = C ndn

De manera que el descuento acumulado es igual a n veces el descuento periódico.

b. Intensidad periódica del descuento o descuento efectivo: el descuento efectivo es creciente, ya que si bien el descuento periódico es constante, la proporción en relación con el valor presente aumenta en cada período:

Al aumentar el número de períodos p, el denominador es menor y, en consecuencia, el resultado es cada vez mayor.

El valor presente en el descuento comercial aparece representado en la figura 2.5. Es una función lineal de la forma y = -ax + b válida en el intervalo comprendido entre n = 0 y n = 1 / d; corta a los ejes en los puntos (0,1) y (1 / d,0) y tiene un coeficiente angular igual a (-d), donde d representa la pendiente de la función, que es decreciente, ya que a medida que descontamos el valor nominal por un período mayor, el valor presente desciende. La función descuento se observa en la figura 2.6y también es una función lineal, pero creciente desde n = 0 y teniendo por techo el valor nominal cuando n = 1 / d (no puede descontarse más que el capital total que dio origen a la operación).

Figura 2.5Valor presente con descuento comercial.

Figura 2.6Descuento acumulado en el descuento comercial.

En teoría, como pudo observarse en el cuadro de evolución, el descuento comercial puede llegar a hacerse igual o superior al valor del capital descontado. En el primer caso, supondría un valor presente nulo y en el segundo se obtendría un absurdo matemático, ya que el valor presente del documento sería negativo. 5

El tiempo en que un capital se anula es igual a la inversa (recíproco) de la tasa de descuento: 6 para obtener el número de períodos que anula el valor del documento, simplemente igualamos a 0 (cero) el valor presente:

Si 1 – dn = 0, despejando el número de períodos tenemos

El descuento comercial podría ser tachado de irracional por el caso extremo mencionado, pero si recordamos que en la práctica su uso se limita a plazos cortos, dicha circunstancia no se presenta.

La noción del valor presente representa una de las ideas más importantes en finanzas y tiene una multiplicidad de aplicaciones. En algunos textos latinoamericanos al valor presente a veces se lo llama «valor actual». Por otra parte, en finanzas es común hablar de «tasa de descuento» para calcular un valor presente utilizando una tasa de interés vencida en el cálculo. La denominación tasa de descuento es una traducción de la expresión en inglés discount rate y ha generado cierta confusión cuando se habla de tasa de descuento comercial o anticipada o adelantada.

¿Es correcto hablar de descuento o de actualización? Si nos atenemos a la definición del verbo «actualizar» de la Real Academia Española, en su vigésima segunda edición define «actualizar» como:

1. tr. Hacer actual algo, darle actualidad. U. t. c. prnl.

2. tr. Poner al día.

3. tr. Poner en acto, realizar.

4. tr. Ling. Hacer que los elementos lingüísticos abstractos o virtuales se conviertan en concretos e individuales, constituyendo mensajes inteligibles.

Por lo tanto, si tenemos en cuenta lo que dice la RAE en el punto 2, es más apropiado hablar de valor presente, pues en realidad actualizar significa «poner al día», que es un proceso que remite del pasado al presente, y no del futuro al presente como es el caso que tratamos.

Preguntas de autoevaluación

1. ¿Por qué la operación de descuento comercial involucra una tasa de interés implícita?

2. ¿Por qué decimos que en el régimen simple las tasas de interés son siempre nominales?

3. ¿Cuánto tiempo tarda el descuento en anular el valor de un documento?

Se dice que dos capitales son equivalentes en una fecha dada cuando a la misma tasa, tienen igual valor presente. Este es un principio matemático de amplio uso en las finanzas y dicha equivalencia puede ser calculada tanto con el descuento comercial como con el racional.

Vamos ahora a extender este principio para el caso del reemplazo de pagos. Cuando por alguna circunstancia un deudor no puede cumplir con una serie de pagos que estaban destinados a cancelar una deuda, es posible la refinanciación de la misma a través del vencimiento común o el vencimiento medio.

Se habla de vencimiento común cuando se reemplaza un conjunto de documentos por uno nuevo (cuyo valor es diferente a la suma de los documentos anteriores) y se establece un nuevo plazo de vencimiento (este plazo de vencimiento, es «común» para todos los documentos reemplazados). Entonces, s e trata de reemplazar a varios capitales C 1, C 2... C n, por un solo capital C tcon vencimiento en un período determinado t.

Recordemos que para que el nuevo pago que va a reemplazar a los anteriores sea equivalente desde el punto de vista financiero, el valor presente del nuevo pago (V) siempre debe ser igual al valor presente de los anteriores pagos. Suponiendo que el documento nuevo quiere reemplazar a otros dos cuyos vencimientos operaban dentro de uno y diez meses respectivamente, la expresión del valor presente del nuevo documento según el descuento racional sería:

En el vencimiento común, las incógnitas pueden ser dos: si predefinimos el plazo de vencimiento, la incógnita es el valor del nuevo documento; si predefinimos este último, la incógnita es el plazo de vencimiento.

Una vez obtenido el valor presente del nuevo pago (V), se calcula el valor nominal del nuevo documento (o capital final) utilizando simplemente la fórmula del interés simple. Si el nuevo documento se firmara con un vencimiento de dentro de 12 meses, su valor sería:

C t= V (1 + i × 12)

Ejemplo: se ha documentado una deuda en 2 pagos a los 6 y 8 meses de plazo, por importes de 1.000 € y de 10.000 € respectivamente. De común acuerdo, deudor y acreedor deciden reemplazar esos dos pagos por uno solo, para hacer efectivo dentro de 10 meses. ¿Cómo determinar el valor de ese nuevo pago dentro de 10 meses, sabiendo que el valor de la tasa de interés vencida es del 2 % mensual? Resolveremos analizando por descuento comercial y racional, de acuerdo con las equivalencias que fueron tratadas anteriormente.