Ричард Фейнман - 6. Электродинамика

Или в векторных обозначениях

Из равенства (21.6) получается уравнение для j:

Интегрирование по t просто убирает надо всеми р по одной точке:

(Постоянная интегрирования отвечала бы некому наложенному статическому полю, которое, конечно, может существовать, но мы считаем, что у выбранного нами колеблющегося диполя ста­тического поля нет.) Теперь мы можем из

найти электрическое поле Е. После утомительных (хоть и пря­мых) выкладок [при этом нужно помнить, что p(t-r/с) и его производные по времени зависят от х, у и z через запаздывание r /с] мы получаем

где

(21.27)

Это выглядит довольно сложно, но интерпретируется просто. Вектор р* — это дипольный момент с запаздыванием и с «по­правкой» на запаздывание, так что два члена с р* в (21.26) при малых r дают просто статическое поле диполя [см. гл. 6 (вып. 5), выражение (6.14)]. Когда r велико, то член с р преобладает над остальными, и электрическое поле пропорционально ускорению зарядов в направлении поперек r и само направлено вдоль

проекции р на плоскость, перпендикулярную к r.

Этот результат согласуется с тем, что мы получили бы, применяя формулу (21.1'). Конечно, эта формула — более об­щая; она годится для любого движения, а не только для мало­заметных движений, для которых запаздывание r /с в пределах всего источника можно считать постоянным [как (21.26)]. Во всяком случае, теперь мы укрепили столбами все наше преж­нее изложение свойств света, за исключением лишь некоторых вопросов из гл. 34 (вып. 3), которые связаны с последней частью выражения (21.26). Мы можем теперь перейти к получению поля быстродвижущихся зарядов. Это приведет нас к релятивист­ским эффектам [гл. 34 (вып. 3)].

§5. Потенциалы движущегося заряда; общее решение Льенара и Вихерта

В предыдущем параграфе мы пошли на упрощение при вы­числении интеграла для А, рассматривая только небольшие скорости. Но при этом мы шли таким путем, которым легко можно прийти и к новым выводам. Поэтому сейчас мы заново предпри­мем расчет потенциалов точечного заряда, движущегося уже, как ему захочется (даже с релятивистской скоростью). Как только мы получим этот результат, у нас в руках окажутся электромагнитные свойства электрических зарядов во всей их полноте. Даже формулу (21.1') можно будет тогда легко полу­чить, взяв только нужные производные. И наш рассказ удастся, наконец, довести до конца. Итак, запаситесь терпе­нием!

Попробуем подсчитать в точке (х 1 , у 1 , z 1) скалярный по­тенциал j(1), создаваемый точечным зарядом (вроде электро­на), движущимся любым, каким угодно образом. Под «точеч­ным» зарядом подразумевается очень маленький заряженный шарик, такой маленький, как только можно себе представить, с плотностью заряда р(х, у, z). Потенциал j можно найти из (21.15):

(21.28)

На первый взгляд кажется (и почти все так и подумают), что ответ состоит в том, что интеграл от r по такому «точечному» заряду равен просто общему заряду q, т. е. что

Через r' 12 здесь обозначен радиус-вектор от заряда в точке (2) к точке (7), измеренный в более раннее время (t—r 12 /c). Эта формула ошибочна.

Фиг. 21.5. «Точечный» заряд (рассматриваемый как неболь­шое распределение зарядов в форме куба), движущийся со скоростью v к точке (1).

Правильный ответ такой: