Ричард Фейнман - 6. Электродинамика

Теперь возвратимся назад и закончим наши расчеты магнит­ного поля. Для В х мы получили (21.21) и (21.22). Поэтому

(21.1')

С помощью точно таких же выкладок мы придем к

И все это можно объединить в одну красивую векторную фор­мулу:

(21.23)

А теперь взгляните на нее. Прежде всего на больших удале­ниях (когда r велико) следует принимать в расчет только р. Направление В дается вектором pXr,перпендикулярным и к радиусу r, и к ускорению (фиг. 21.4). Все сходится с тем, что получилось бы из формулы (21.1').

Теперь посмотрите (к этому мы не привыкли) на то, что про­исходит поблизости от заряда. В гл. 14, § 7 (вып. 5) мы вывели закон Био и Савара для магнитного поля элемента тока. Мы нашли, что элемент тока j dV привносит в магнитное поле сле­дующий вклад:

(21.24)

Вы видите, что эта формула с виду очень похожа на первое слагаемое в (21.23), если только вспомнить, что р — это ток. Но разница все же есть. В (21.23) ток надо подсчитывать в момент (t-r/с), а в (21.24) этого нет. На самом деле, однако, (21.24) для малых r все еще годится, потому что второе слагае­мое в (21.23) стремится уничтожить эффект запаздывания из первого слагаемого. Вместе оба они приводят при малых r к результату, очень близкому к (2124).

Фиг. 21.4. Поля излучения В и Е колеблющегося диполя.

В этом можно убедиться следующим образом. Когда r мало, (t-r/с) не очень отличается от t, и в (21.23) скобки можно раз­ложить в ряд Тэйлора. Первый член разложения дает

n в том же порядке по r /с

Если их сложить, члены с р уничтожатся и слева останется незапаздывающий ток р, т. е. р(t) плюс члены порядка (r/с) 2и выше [например, 1/ 2(r/с) 2Р"']. Эти члены при достаточно малых r (малых настолько, что за время r /с ток р заметно не меняется) будут очень малы.

Стало быть, (21.23) приводит к полям, очень похожим на те, которые дает теория с мгновенным действием, гораздо более по­хожим на них, чем на поля теории с мгновенным действием и с задержкой; эффекты задержки первого порядка компенсируют­ся вторым членом. Статические формулы очень точны, намного более точны, чем вам могло бы показаться. Конечно, компенса­ция чувствуется только вблизи от заряда. Для далеких точек эти поправки уже ничего не спасают, потому что временное за­паздывание приводит к очень большим эффектам и в конечном счете к важному члену 1/r — к эффекту излучения.

Перед нами все еще стоит задача расчета электрического поля и доказательства того, что оно совпадает с (21.1'). Правда, уже чувствуется, что на больших расстояниях ответ получится такой, как надо. Мы знаем, что вдали от источников, где воз­никает распространяющаяся волна, Е перпендикулярно к В (и к r), как на фиг. 21.4, и что с В=Е. Значит, Е пропорциональ­но ускорению р", как и предсказывалось формулой (21.1').

Чтобы получить электрическое поле на всех возможных рас­стояниях, нужно найти электростатический потенциал. Когда мы подсчитывали интеграл токов для А, желая получить (21.18), то сделали приближение: мы пренебрегли малозамет­ным изменением r в члене с запаздыванием. Для электростати­ческого потенциала этого делать нельзя, потому что тогда у нас получилось бы {/r, умноженное на интеграл от плотности за­ряда, т. е. на константу. Такое приближение чересчур грубо. Надо обратиться к высшим порядкам. И вместо того, чтобы пу­таться в этих прямых расчетах высших приближений, можно поступить иначе — определить скалярный потенциал из равен­ства (21.6), используя уже найденное значение векторного по­тенциала. Дивергенция А в этом случае просто равна dAJdz, поскольку А х и A y тождественно равны нулю. Дифференцируя точно так же, как это делалось выше при вычислении В, получаем