
Фиг. 21.2. Потенциалы в точке (1) даются интегралами от плотности заряда r.

Полагая r 12=r в j(t- r 12/с), мы вычисляем плотность тока для всего сгустка в одно и то же время (t-r/с). Это приближение годится лишь тогда, когда скорость v заряда много меньше с. Мы, стало быть, ведем расчет в нерелятивистском случае. После замены j на rv интеграл (21.17) превращается в
Раз скорость всех зарядов в сгустке одна и та же, этот интеграл просто равен v/r, умноженному на общий заряд q. Но qv — это как раз dp/dt (скорость изменения дипольного момента), только надо ее, конечно, определять в более раннее время (t-r/с). Запишем эту величину так: p(t-r/с). Итак, мы получаем для векторного потенциала

Мы узнали, что ток в меняющемся диполе создает векторный потенциал в форме сферических волн, источник которых обладает силой р’/4pe 0с 2.
Теперь из B=СXA можно получить магнитное поле. Поскольку р’ направлен по оси z, у А есть только z-компонента; в роторе остаются только две ненулевые производные. Значит, В х =дА г /ду и В =— дА z /дх. Поглядим сперва на В х :

(21.19)
Чтобы продифференцировать, вспомним, что r=Ц(x: 2+y 2+z 2), так что

Но мы помним, что дr/ду=y/r; значит, первое слагаемое даст

(21.21)
что убывает как 1/r 2, т. е. как поле статического диполя (потому что в данном направлении у/r постоянно).
Второе слагаемое в (21.20) приводит к новому эффекту. Если провести в нем дифференцирование, то получится

(21.22)
где р” — просто вторая производная р по t. Вот это-то получающееся от дифференцирования числителя слагаемое и ответственно за излучение. Во-первых, оно описывает поле, убывающее на расстоянии как i/r, во-вторых, зависит от ускорения заряда. Теперь вам должно быть ясно, как мы собираемся получить формулу типа (21.1'), описывающую световое излучение.
Явление это настолько интересно и важно, что стоит немного подробнее разобраться в том, откуда берется это «радиационное» слагаемое. Мы начинали с выражения (21.18), зависящего от r как 1 /r и тем самым похожего на кулонов потенциал (если не обращать внимания на запаздывающий множитель в числителе). Почему же когда мы, желая получить поле, дифференцируем по пространственным координатам, то не получаем просто поля вида 1/r 2(конечно, с соответствующей временной задержкой)?
А вот почему. Представьте, что диполь приведен в колебательное движение вверх и вниз. Тогда

Если начертить график зависимости А r от r в каждый данный момент, то получится кривая, показанная на фиг. 21.3. Амплитуда в пиках убывает как 1/r, но, кроме того, еще имеются пространственные колебания, которые ограничены огибающей вида 1/r. Пространственные производные в формуле пропорциональны наклону кривой. Из фиг. 21.3 видно, что встречаются намного более крутые наклоны, чем наклон самой кривой 1/г. Очевидно, что при данной частоте наклоны в пиках пропорциональны амплитуде волны, меняющейся как 1/r. Тем самым объясняется степень спадания радиационного слагаемого с расстоянием.

Все это получается оттого, что временные вариации в источнике превращаются в пространственные вариации, когда волны начинают разбегаться в стороны, магнитные же поля зависят от пространственных производных потенциала.
Фиг. 21.3. Зависимость величины А от r в момент t для сферической волны от колеблющегося диполя.
Читать дальше