Ричард Мюллер - Сейчас. Физика времени

Теперь рассчитаем, что происходит в системе отсчета, связанной с шестом. Передний конец шеста упрется в заднюю стену сарая в момент T 1с учетом уравнения преобразования Лоренца:

T 1= γ( t 1− x 1 v / c ²) = 2(0 − 0 v / c ²) = 0.

Задний конец шеста поравняется с дверью в момент:

T 2= γ( t 2− x 2 v / c ²) = 2(0 + 6 v / c ²).

Вычислив v / c из γ = 2, получаем β = v / c = 0,866. Таким образом:

T 2= 2(0 + 5,196/ c ) = 10,392/ c .

Воспользовавшись значением скорости света c = 3·10 8метров в секунду (м/с), получим, что шест целиком войдет в сарай за T 2 = 34,64/10 9с = 34,64 × 10 −9с. Так что в момент, когда передний конец шеста упрется в стену, задний его конец еще не дойдет до двери. Она поравняется с ней через 34,64 наносекунды (миллиардной доли секунды).

Вычислим в системе отсчета, связанной с шестом, где будет находиться его задний конец, когда передний упрется в стену. Воспользуемся уравнением:

x 2= γ( X 2+ vT 2).

Решив его относительно X 2и подставив v = 0,866 c, x 2= −6 метров и T 2= 10,392/ c , получаем:

X 2= x 2/γ − vT 2= −6/2 − 9 = −12 (метров).

Этот ответ вполне соответствует нашим ожиданиям. В системе шеста, когда передняя его часть упирается в стену, задняя находится от нее на расстоянии −12 метров. Эта точка отстоит на 12 метров от задней стены сарая, что соответствует данным, что шест в этой системе отсчета имеет длину 12 метров.

Разрешение парадокса кроется в том, что два конца шеста одновременно находятся внутри сарая в системе отсчета, связанной с сараем, но в системе, связанной с шестом, они, хотя и попадают оба внутрь сарая, но делают это не одновременно: задний конец шеста проходит в дверь чуть позже, чем передний упирается в стену. Когда шест оказывается внутри, если его движение внезапно прекращается (оба конца шеста в системе сарая останавливаются одновременно), он потеряет свое линейное сжатие и внезапно удлинится до полной 12-метровой длины, проломив при этом какую-то из стен сарая или обе.

Поскольку для Мэри замедление времени составляет γ = 2, мы можем рассчитать, что отношение ее скорости к скорости света равно β = 0,866. В этом примере парадокса близнецов есть несколько важных систем отсчета: СО Джона (мы будем называть ее системой Земли ), удаляющаяся система отсчета Мэри (собственная СО Мэри на пути туда, движущаяся со скоростью v = 0,866 c ) и приближающаяся система отсчета Мэри (ее собственная СО на обратном пути, движущаяся со скоростью v = −0,866 c ). Наконец, собственная система отсчета Мэри представляет собой комбинацию двух перечисленных, поскольку она какое-то время движется с ускорением и переходит из одной лоренцевой системы в другую [278].

В системе Земли мы можем вычислить расстояние до интересующей нас звезды из того факта, что Мэри летит к ней со скоростью, равной 0,866 скорости света, и весь путь занимает 8 лет; это расстояние равно 0,866 × c × 8 = 6,92 c , или 6,92 световых года. В собственных системах отсчета Мэри при удалении от Земли и возвращении к ней расстояние составляет 6,92 c , деленное на коэффициент лоренцева сжатия γ, то есть 3,46 c . В системе Мэри время, которое занимает у нее путь к звезде, равно расстоянию 3,46 c , деленному на скорость 0,866 c , и равно 4 годам. Так что и в системе Земли, и в удаляющейся системе Мэри, когда она долетит до звезды, будет 4 года. Точно так же на обратном пути она подрастет еще на четыре года, и по возвращении ей будет 8 лет.

Джон в системе Земли покоится. В этой системе путешествие Мэри занимает 8 лет в одну сторону. Когда Мэри вернется, Джон будет старше нее, ему исполнится 16 лет.

А теперь рассмотрим те же события в системе отсчета, связанной с Мэри. Эта система движется с ускорением, поэтому мы будем проводить вычисления в три этапа. Сначала воспользуемся ее удаляющейся системой, которая движется со скоростью + v относительно систем Земли. Затем она на какое-то время остановится у далекой планеты; ее собственная система станет идентична системе Джона; наконец, она отправится в обратный путь, разгонится, и ее собственная система будет двигаться со скоростью − v относительно системы Земли.

На первом этапе, от Земли до звезды, Мэри в своей собственной системе покоится. Джон движется со скоростью − v и взрослеет со скоростью 1/γ лет. Мэри летит до звезды 4 года (конечно, в этой системе именно звезда движется к ней; сама она покоится). За это время Джон взрослеет всего на 4/γ = 2 года.