Анонiм (Гор Грит) - Спящий бог 018

У обычных чисел есть аналоги в реальном мире. Например, обычная единица выражает один предмет — одно яблоко. У трансфинитных чисел нет аналогов в нашем мире. Потому они и названы таким нечеловеческим термином. Число алеф1 больше, чем все элементарные частицы в видимой Вселенной. Число алеф2 — величина за границами воображения. Не создано множества, мощность которого отражала бы это число.

Нас не смущает тот факт, что любое натуральное число содержит в себе бесконечно много образующих его частей, и мы свободно оперируем ими. Но нас смущает, что любое трансфинитное число ухватывает бесконечность вверх. Если преодолеть это смущение, как утверждают математики, трансфинитными числами можно оперировать.

Теория множеств — нечто качественно новое, отличающееся от всех предыдущих штурмов бесконечности. Она имела глубину и гармонию, а ее единственным недостатком было несоответствие интуиции. Главное достижение Кантора: он показал, что есть разные бесконечности. И если они не равны, значит, ими можно оперировать.

Математическое сообщество живо интересуются новой теорией. В самом начале ХХ века Рассел выявил парадокс. Суть парадокса: все существующее можно поделить на два типа множеств. Одни не содержат себя в качестве своего элемента, другие содержат.

Пример первого типа множества: множество всех башмаков не является башмаком. Пример второго множества: множество всех множеств само является множеством. Первое не содержит себя в качестве своего элемента, а второе содержит.

По логике, любое множество принадлежит либо к первому, либо ко второму типу. Но если мы все множества первого типа объединим в отдельное множество, окажется, его нельзя будет отнести ни к первому, ни ко второму типу множеств.

Для описания своего парадокса Рассел выдумал город, где закон предписывает всем быть выбритыми. Еще по закону брадобрей должен брить только тех, кто не бреет себя сам. Как брадобрей может быть бритым? Если будет бриться сам, то принадлежит к людям, кого ему брить нельзя. Это нарушение закона. Если же он не будет сам себя брить, то по закону его должен брить брадобрей, т.е. он должен брить себя сам.

До обнаружения парадоксов теории множеств Пуанкаре живо интересовался темой. После стал говорить, что это болезнь, от которой математику нужно лечить. Пуанкаре отказывается ее замечать и всем другим ученым предлагает делать вид, что никакой бесконечности нет. Тут Пуанкаре уподобляется профессору упомянутого Падуанского университета Кремонини, который предлагал не замечать того, что видно в трубу Галилея.

Как тут не вспомнить градоначальника Бородавкина, писавшего «…втихомолку устав о “неcтеснении градоначальников законами”». Первый и единственный параграф этого устава гласил: «Ежели чувствуешь, что закон полагает тебе препятствие, то, сняв оный со стола, положи под себя. И тогда все сие, сделавшись невидимым, много тебя в действии облегчит» {93} 93 М. Салтыков-Щедрин «История одного города» .

Математический мир в отношении бесконечности колется по линии Кантора на два лагеря. Одни математики, во главе с Пуанкаре, мировой величиной на физическом и математическом небосклоне, отрицают ее. Пуанкаре говорит, что бесконечности не место в науке, потому что ею невозможно оперировать, и она только с толку сбивает.

Сторону Пуанкаре занимает Кронекер, учитель Кантора. Отрицая бесконечность, он обзывает своего ученика шарлатаном и растлителем молодежи. В этом же русле, но менее категорично против Кантора высказываются многие другие видные математики.

Другие мировые величины, во главе с Гильбертом, пребывают в восторге от идеи Кантора. Гильберт пишет: «Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор». Идеи Кантора выглядят для него «…заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека». Крупные математики, Дедекинд и Фреге, льют Кантору елей и воскуряют фимиам.

Но у Гильберта признание теории Кантора странным образом соединяется с попыткой отрицать бесконечность. Он пишет: «Оперирование с бесконечным может стать надёжным только через конечное»; «Научное познание требует некоторые геометрически-наглядные представления»; «Из того факта, что вне какого-либо куска пространства всегда снова имеется пространство, следует только неограниченность пространства, а не его бесконечность». Ни в коей мере не намереваясь умалить авторитет этого гениального математика, я все же скажу, что неограниченность и бесконечность — синонимы.